이항 급수

정의

복소수 $α \in ℂ$ 가 주어졌을 때, 이항 급수는 $(1 + x)^{α}$ 의 매클로린 급수이다. 이는 다음과 같다.

(1 + x)^{α} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{α}{k}) x^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(α)_{k}}{k!} x^{k} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + \frac{α (α - 1) (α - 2)}{6} x^{3} + \dots

여기서 $(\binom{α}{k})$ 는 이항 계수, $(α)_{k}$ 는 하강 계승, $k!$ 는 계승이다.

음이항 급수(陰二項級數, 틀:Llang)는 $(1 - x)^{- α}$ 의 매클로린 급수이다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(1 - x)^{- α} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{α + k - 1}{k}) x^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{α^{(k)}}{k!} x^{k} = 1 + α x + \frac{α (α + 1)}{2} x^{2} + \frac{α (α + 1) (α + 2)}{6} x^{3} + \dots

여기서 $α^{(k)}$ 는 상승 계승이다.

이항 급수의 수렴역은 다음과 같다. (여기서 $ℕ$ 은 음의 아닌 정수의 집합)

{\begin{matrix} ℂ & α \in ℕ \\ {x \in ℂ : | x | \leq 1} & Re α > 0, α \in̸ ℕ \\ {x \in ℂ : | x | \leq 1} ∖ {- 1} & - 1 < Re α \leq 0, α \neq 0 \\ {x \in ℂ : | x | < 1} & Re α \leq - 1 \end{matrix}

특히, 실수의 경우의 수렴역은 다음과 같다.

{\begin{matrix} ℝ & α \in ℕ \\ [- 1, 1] & α > 0, α \in̸ ℕ \\ (- 1, 1] & - 1 < α < 0 \\ (- 1, 1) & α \leq - 1 \end{matrix}

이항 급수의 $α \in {0, 1, 2, \dots}$ 의 경우를 이항 정리라고 하며, 다음과 같다.

(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = 1 + n x + \frac{n (n - 1)}{2} x^{2} + \dots + \frac{n (n - 1)}{2} x^{n - 2} + n x^{n - 1} + x^{n} x \in ℂ

이항 급수의 $α = - 1 / 2$ 의 경우는 다음과 같다.

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k - 1)!!}{(2 k)!!} x^{k} = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} + \frac{5}{16} x^{3} + \dots | x | \leq 1, x \neq - 1

이항 급수의 $α = - 1$ 의 경우는 다음과 같은 기하급수이다.

\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots | x | < 1

이항 급수의 $α = - 2$ 의 경우는 다음과 같다.

\frac{1}{(1 - x)^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \dots | x | < 1