선형 근사

수학에서 선형 근사(線型近似, 틀:Llang)는 어떤 함수를 선형 함수, 즉 일차 함수로 근사하는 것을 말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 (미분 가능한) 함수의 그래프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

정의

어떤 점 $x = a$ 에서 미분가능한 함수 $f (x)$ 가 있을 때, 그 점에서의 접선의 방정식은

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)

이다. 이때 근사

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a)

를 $f$ 의 $a$ 에서의 선형 근사라고 한다. 이는 테일러 정리에 의하여 얻어진

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + R_{2}

에서 근사 $R_{2} \approx 0$ 를 취한 것으로 볼 수 있다. 여기서 $R_{2} = o (x - a)$ 는 $x$ 가 $a$ 로 갈 때의 $x - a$ 보다 고위인 무한소이다(점근 표기법). 즉,

\lim_{x \to a} \frac{o (x - a)}{x - a} = 0

$\sqrt{4.01}$ 을 함수 $f (x) = \sqrt{x}$ 의 $x = 4$ 에서의 선형 근사를 사용해서 근삿값을 구할 수 있다.

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

이므로

f (4.01) \approx f (4) + f^{'} (4) \times 0.01 = 2 + \frac{1}{4} \times 0.01 = 2.0025

이다. 이는 실제값인 틀:개행 금지를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다.

이는 사실상 $x$ 가 4에 매우 가까울 때의 선형 근사

\sqrt{x} \approx 2 + \frac{1}{4} (x - 4)

를 이용한 것이다. 비슷한 예로 $x$ 가 0에 가까울 때의 여러 가지 선형 근사를 나열하면 다음과 같다.