상태 밀도

틀:위키데이터 속성 추적 응집물질물리학에서 상태 밀도(狀態密度, 틀:Lang)는 파수 공간에서 같은 에너지를 가진 파수 상태의 수다. 단위 부피 및 단위 에너지당 양자역학적 상태의 수를 나타낸다. 국제 단위는 매 줄 매 세제곱미터 (J⁻¹ · m⁻³)이지만, 흔히 매 전자볼트 매 세제곱센티미터 (eV⁻¹ · cm⁻³)를 쓴다.

정의

주어진 계의 입자가 분산 관계 $E (𝐤)$ 를 따른다고 하자. 그렇다면 파수 벡터 공간에서, 에너지가 $E$ 이하인 파수 영역의 부피 $Ω (E)$ 를 정의할 수 있다. 그렇다면 상태 밀도 $N (E)$ 는 다음과 같다.

N (E) = \frac{g}{(2 π)^{3}} \frac{d Ω (E)}{d E}

.

여기서 $g$ 는 겹침이다. 즉, 같은 에너지 및 파수에서 몇 개의 상태가 존재하는지를 나타낸다. 예를 들어, 전자의 경우에는 스핀 자유도로 인하여 $g = 2$ 이다.

디바이 모형에서, 포논은 단순한 선형 분산 관계 $E (𝐤) = ℏ v k$ 를 가진다. 따라서 $Ω (E)$ 는 반지름이 $E / v$ 인 구의 부피다. 즉,

Ω (E) = \frac{4}{3} π (E / ℏ v)^{3}

이다. 포논은 편향 상태(틀:Lang)가 3개 있으므로, $g = 3$ 이다. 따라서 상태 밀도는 다음과 같다.

N (E) = \frac{3}{(2 π)^{3}} \frac{d Ω}{d E} = \frac{3 E^{2}}{2 π^{2} ℏ^{3} v^{3}}

.

빛의 속도보다 매우 낮은 속도로 움직이는 자유 전자의 경우에는 분산 관계는 $E (𝐤) = ℏ^{2} k^{2} / 2 m$ 이다. 따라서 $Ω (E)$ 의 반지름은 $\sqrt{2 m E} / ℏ$ 이고,

Ω (E) = \frac{4 π}{3 ℏ^{3}} (2 m E)^{3 / 2}

이다. 전자의 경우에는 스핀 자유도로 인해 $g = 2$ 이므로,

N (E) = \frac{1}{2 π^{2} ℏ^{3}} \sqrt{(2 m)^{3} E}

이다.