아벨 변환

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 수학에서 아벨 변환(-變換, 틀:Llang) 또는 아벨 보조정리(-補助定理, 틀:Llang) 또는 아벨 부분합 공식(-部分合公式, 틀:Llang) 또는 부분 합산(部分合算, 틀:Llang)은 두 수열의 곱의 합을 다른 두 수열의 곱의 합으로 바꾸는 방법이다. 부분 적분의 이산적 형태다.

정의

아벨 변환에 따르면, 임의의 자연수 $n\ge 0$ 및 두 묶음의 복소수 $a_0,a_1,\dots ,a_n\in ℂ$ 및 $b_0,b_1,\dots ,b_n\in ℂ$에 대하여,

$A_i=a_0+a_1+\cdots +a_i(i=0,1,\dots ,n)$

라고 하였을 때, 다음 공식이 성립한다.틀:Rp

$\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_i=A_n{b}_n+\sum _{i=0}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1})$

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 및 $K$-가군 $V$, $W$, $M$ 및 $K$-쌍선형 변환 $\varphi :V\otimes W\to M$이 주어졌을 때, 임의의 자연수 $n\ge 0$ 및 두 묶음의 가군 원소 $a_0,a_1,\dots ,a_n\in V$ 및 $b_0,b_1,\dots ,b_n\in W$ 및

$A_i=a_0+a_1+\cdots +a_i\in V(i=0,1,\dots ,n)$

에 대하여, 다음 공식이 성립한다.

$\sum _{i=0}^n\varphi (a_i,b_i)=\varphi (A_n,b_n)+\sum _{i=0}^{n-1}\varphi (A_i,b_i-b_{i+1})$

이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

응용

아벨 변환을 사용하여, 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명할 수 있다. 그 중 일부는 다음과 같다.

• 교대급수 판정법
• 디리클레 판정법
• 아벨 판정법
• 크로네커 보조정리

예

등차수열의 합

처음 $n$개의 양의 정수의 합

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n$

을 구하자.

$a_n=1$

$b_n=k$

라고 하자. 그렇다면 첫 번째 수열의 부분합은

$A_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=n$

이다. 따라서, 등차수열의 합에 아벨 변환을 가하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n}k& =\sum _{k=1}^n(1\cdot k)\\ & =n\cdot n+\sum _{k=1}^{n-1}k(k-(k+1))\\ & =n^2-\sum _{k=1}^{n-1}k\\ & =n^2-(\sum _{k=1}^{n}k-n)\\ & =n^2+n-\sum _{k=1}^{n}k\end{array}$

우변의 급수를 이항하고 양변을 2로 나누면, 처음 $n$개의 양의 정수의 합

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n^2+n}{2}$

을 얻는다.

제곱수의 합

제곱수의 합

$\sum _{k=1}^n{k}^2=1+4+\cdots +n^2$

을 생각하자.

$a_n=b_n=n$

라고 하였을 때, 등차수열의 합의 공식에 따라

$A_n=a_1+\cdots +a_n=1+2+\cdots +n=\frac{n^2+n}{2}$

이다. 아벨 변환을 가한 결과는 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n{k}^2& =\frac{n^2+n}{2}\cdot n+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}{2}\cdot (k-(k+1))\\ & =\frac{n^3+n^2}{2}-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}{2}\\ & =\frac{n^3+n^2}{2}-\sum _{k=1}^n\frac{k^2+k}{2}+\frac{n^2+n}{2}\\ & =\frac{n^3+n^2}{2}-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{k}^2-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n}k+\frac{n^2+n}{2}\\ & =\frac{n^3+n^2}{2}-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{k}^2-\frac{n^2+n}{4}+\frac{n^2+n}{2}\\ & =\frac{2n^3+3n^2+n}{4}-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{k}^2\end{array}$

이다. 따라서, 제곱수의 합은

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$

이다.

마찬가지로, 임의의 거듭제곱수의 합을 아벨 변환을 통하여 귀납적으로 구할 수 있다.

교대급수

교대급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$

는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 교대급수의 부분합에 대하여 아벨 변환을 직접 적용해 보자.

$a_n=(-1{)}^{n-1}$

$b_n=\frac{1}{n}(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

로 놓자. 그렇다면

$A_n=a_1+\cdots +a_n=\{\begin{array}{cc}1& n=1,3,5,\dots \\ 0& n=2,4,6,\dots \end{array}$

이다. 따라서 아벨 변환을 적용한 결과는 다음과 같다 ($\lfloor x\rfloor$는 바닥 함수).

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}& =A_n\cdot \frac{1}{n}+\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\ & =A_n\cdot \frac{1}{n}+\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k\cdot \frac{1}{k(k+1)}\end{array}$

여기에 극한 $n\to \mathrm{\infty }$를 취하면 다음을 얻는다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n(2n-1)}$

새로운 급수는 비교 판정법에 의하여 수렴하므로, 교대급수 역시 수렴한다.

역사

닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

• 아벨 극한 정리
• 아벨의 합 공식

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki