베르누이의 렘니스케이트

베르누이의 렘니스케이트

기하학에서 베르누이의 렘니스케이트(틀:Llang)는 거리가 2a인 두 초점F₁ , F₂가 주어졌을 때 곡선상의 각각의 점 P에 대해 PF₁·PF₂ = a²을 만족하는 평면곡선으로 정의된다. 이 곡선의 모양은 숫자 8 또는 기호 ∞와 유사하며 그 이름은 틀:Llang에서 유래했는데 이는 “펜던트 리본”이라는 뜻이다. 이 곡선은 카시니의 난형선의 특수한 경우이며 유리곡선이자 4차 대수 곡선이다.

• 이것의 직교좌표계상의 방정식은 :

$(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2).$

• 극좌표상에서는 : $r=a\sqrt{2\cos (2\phi )}$

• 매개변수방정식으로는 : $x=\frac{a\sqrt{2}\cos (t)}{\sin (t{)}^2+1};y=\frac{a\sqrt{2}\cos (t)\sin (t)}{\sin (t{)}^2+1}$

렘니스케이트는 타원의 변형으로서 1694년 야코프 베르누이에 의해 처음 고안되었다. 타원은 두 초점으로부터 거리의 합이 일정한 곡선이다. 반면에, 카시니의 난형선은 두 초점으로부터 거리의 곱이 일정한 곡선이다. 이때 이 곡선이 두 초점의 중점을 지나는 경우가 바로 베르누이의 렘니스케이트이다.

이 렘니스케이트는 중심이 쌍곡선의 중심과 일치하는 반전원에 대한 쌍곡선의 반전형으로도 얻을 수 있다.

다른 방정식 표현들

렘니스케이트는 아래의 극좌표 방정식으로도 표현이 가능하다.

$r^2=2a^2\cos 2\theta$

또는 아래의 쌍극좌표계 방정식으로도 표현된다.

$r{r}^{\prime }=\frac{a^2}{2}$

미분

$x$에 대한 $y$의 함수로서

$\frac{dy}{dx}=\{\begin{array}{cc}\text{unbounded}& \text{if }y=0\text{ and }x\ne 0\\ \pm 1& \text{if }y=0\text{ and }x=0\\ \frac{x(a^2-x^2-y^2)}{y(a^2+x^2+y^2)}& \text{if }y\ne 0\end{array}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\{\begin{array}{cc}\text{unbounded}& \text{if }y=0\text{ and }x\ne 0\\ 0& \text{if }y=0\text{ and }x=0\\ \frac{3a^6(y^2-x^2)}{y^3(a^2+2x^2+2y^2{)}^3}& \text{if }y\ne 0\end{array}$

$y$에 대한 $x$의 함수로서

$\frac{dx}{dy}=\{\begin{array}{cc}\text{unbounded}& \text{if }2x^2+2y^2=a^2\\ \pm 1& \text{if }x=0\text{ and }y=0\\ \frac{y(a^2+2x^2+2y^2)}{x(a^2-2x^2-2y^2)}& \text{else }\end{array}$

$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\{\begin{array}{cc}\text{unbounded}& \text{if }2x^2+2y^2=a^2\\ 0& \text{if }x=0\text{ and }y=0\\ \frac{3a^6(x^2-y^2)}{x^3(a^2-2x^2-2y^2{)}^3}& \text{else }\end{array}$

같이 보기

• 부스의 렘니스케이트
• 게로노의 렘니스케이트

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• "Lemniscate of Bernoulli" at The MacTutor History of Mathematics archive
• "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French)