카시니의 난형선

수학에서 카시니의 난형선(Cassini oval)은 두 정점 q₁, q₂에 대해 난형선상의 각각의 점 p로부터 q₁, q₂까지의 거리의 곱이 일정한 평면상의 점들의 집합이다. 즉, 우리가 두 점 x, y 사이의 거리를 dist(x,y)로 정의한다면, 카시니의 난형선상의 모든 점 p는 다음 방정식을 만족한다.

dist (q_{1}, p) \times dist (q_{2}, p) = b^{2}

(단, b는 상수이다.)

점 q₁, q₂를 이 난형선의 초점이라고 부른다.

카시니의 난형선은 천문학자 조반니 도메니코 카시니의 이름을 따서 지어졌으며 카시니 난형선, 카시니 난형 등으로도 불린다.

q₁을 (a,0), q₂를 (-a,0)라 가정하자. 그러면 곡선상의 점들은 다음 방정식을 만족한다.

((x - a)^{2} + y^{2}) ((x + a)^{2} + y^{2}) = b^{4}

동일한 방정식으로는

(x^{2} + y^{2})^{2} - 2 a^{2} (x^{2} - y^{2}) + a^{4} = b^{4}

과

(x^{2} + y^{2} + a^{2})^{2} - 4 a^{2} x^{2} = b^{4}

이 있다.

동일한 극방정식은 다음과 같다.

r^{4} - 2 a^{2} r^{2} \cos 2 θ = b^{4} - a^{4}

이 난형선의 모양은 b/a에 의존한다. b/a가 1보다 크면 그 자취는 하나의 연결된 고리가 된다. b/a가 1보다 작으면 그 자취는 두개의 분리된 고리로 구성된다. b/a가 1이면 그 자취는 베르누이의 렘니스케이트가된다.

예

망델브로 집합의 두 번째 렘니스케이트는 방정식 $L_{2} = {c : a b s (c^{2} + c) = E R}$ 을 만족하는 카시니의 난형선이다.

참고 문헌

틀:서적 인용

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