히포페데

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 히포페데(틀:Llang)는 다음 형태의 방정식으로 결정되는 평면 곡선이다.

$(x^2+y^2{)}^2=c{x}^2+d{y}^2$,

여기서 c>0, c>d이라 가정한다(이외의 조건에서는 곡선이 성립되지 않는다). 히포페데는 x축과 y축 모두를 중심으로 대칭을 이루는 4차의 대수 곡선이다. d>0인 경우 이 곡선은 부스의 난형(틀:Llang)으로 알려진 타원형을 띠며, d<0인 경우 이 곡선은 숫자 8 또는 기호 ∞와 유사하고 부스의 렘니스케이트(틀:Llang)라고 알려져있다. 이 둘 모두 이를 연구했던 제임스 부스(틀:Llang, 1810-1878)의 이름을 딴 것이다. 히포페데는 또한 프로클로스 (그래서 이 곡선은 종 프로클로스의 히포페데라고도 불린다)나 에우독소스에 의해 연구되기도 했다. d=−c인 경우, 히포페데는 베르누이의 렘니스케이트와 일치한다. 어원은 말의 족쇄를 뜻하는 틀:Llang이다.

원환면을 이용한 정의

a = 1이고, b = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0.일 때의 히포페데

b = 1이고, a = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0.일 때의 히포페데

히포페데는 원환면과 평면의 교선으로도 정의될 수 있다. 이때 평면은 토러스의 축에 평행하며 그 안쪽 원에 접하여야 한다. 그래서 이것은 환면곡선의 일종이다.

반지름이 a인 원이 그 중심과 축의 거리를 b로 유지하며 회전하여 만들어진 원환면이 있을 때, 이 원환면으로부터 유도된 히포페데의 극좌표방정식은 다음과 같으며

$r^2=4b(a-b{\sin }^2\theta )$

또는 직교좌표계로 아래와 같다.

$(x^2+y^2{)}^2+4b(b-a)(x^2+y^2)=4b^2{x}^2$.

a>b인 경우, 원환면은 자기자신과 교차하기 때문에 일반적인 형태를 띠지 않음을 기억해두자.

같이 보기

• 베르누이의 렘니스케이트

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:매스월드
• "Hippopede" at 2dcurves.com
• "Courbes de Booth" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

외부 링크

• "The Hippopede of Proclus" at The National Curve Bank