베타 함수

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 베타 함수(Β函數, 틀:Llang)는 감마 함수의 비로 나타내어지는 2변수 특수 함수이다. 이항계수의 해석적 연속으로 생각할 수 있다.

정의

베타 함수 $B (x, y)$ 는 다음과 같다.

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t

이때 x와 y는 실수부가 0보다 큰 복소수이다. 감마 함수와 함께 오일러 적분(Euler integral)으로 부르기도 한다.

감마 함수가 계승 (수학)을 일반화한 것으로 생각할 수 있는 것처럼, 베타함수는 이항계수의 일반화로 생각할 수 있다.

(\binom{n}{k}) = \frac{1}{(n + 1) B (n - k + 1, k + 1)}

대칭성이 있다. 즉, $B (x, y) = B (y, x)$ 가 성립한다.
$B (x, y) = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}$ , 여기에서 $Γ (x)$ 는 감마 함수.
$B (x, y) = 2 \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 x - 1} θ \cos^{2 y - 1} θ d θ, ℜ (x) > 0, ℜ (y) > 0$
$B (x, y) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{x - 1}}{(1 + t)^{x + y}} d t, ℜ (x) > 0, ℜ (y) > 0$
$B (x, y) = \frac{1}{y} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(y)_{n + 1}}{n! (x + n)}$ , 여기에서 $(x)_{n} = x (x - 1) (x - 2) . . . (x - n + 1)$ .