몫 규칙

미적분학에서 몫 규칙(-規則, 틀:Llang) 또는 몫의 미분법은 두 함수의 몫을 미분할 때 쓰이는 공식이다.

정의

두 함수 $f,g:I\to ℝ$가 $x_0\in I\subseteq ℝ$에서 미분 가능하다고 하자. 또한, $g(x_0)\ne 0$이라고 하자. 그렇다면, $f/g$ 역시 $x_0$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

$\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g(x_0{)}^2}$

함수의 선형 근사 $d(-)$를 사용하여 표기하면 다음과 같다.

${d\left(\frac{f}{g}\right)|}_{x=x_0}={\frac{gdf-fdg}{g^2}|}_{x=x_0}$

예

• $\frac{(4x-2)}{(x^2+1)}$의 미분은:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\frac{4x-2}{x^2+1}& =\frac{(x^2+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}\end{array}$

위의 예제에서는

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^2+1$

로 지정했다.

• $\sin (x)/x^2$의 미분 ($x$ ≠ 0 일 때):

$\frac{\cos (x)x^2-\sin (x)2x}{x^4}$

또다른 예로 : $f(x)=\frac{2x^2}{x^3}$를 미분할 경우에: $g(x)=2x^2$ and $h(x)=x^3$, and $g^{\prime }(x)=4x$ and $h^{\prime }(x)=3x^2$ 라는 것을 볼 수 있고, 따라서

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{(4x\cdot x^3)-(2x^2\cdot 3x^2)}{{\left(x^3\right)}^2}\\ & =\frac{4x^4-6x^4}{x^6}\\ & =\frac{-2x^4}{x^6}\\ & =-\frac{2}{x^2}\end{array}$

이다.

증명

뉴턴의 차분몫의 응용

만약 $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$이며

$h(x)\ne 0$이 성립하고 $g$ 와 $h$는 미분 가능한 함수라면:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x+\mathrm{\Delta }x)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{h(x)(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))-g(x)(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\\ & =\frac{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)h(x)-g(x)\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)}{h(x)h(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(x+\mathrm{\Delta }x))}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}\end{array}$

곱 규칙의 응용

만약 $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ 라면

$g(x)=f(x)h(x)$

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)h(x)+f(x)h^{\prime }(x)$

나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 $f^{\prime }(x)$를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, $f(x)$는 식 오른쪽에서 없애야 한다.

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{g^{\prime }(x)-f(x)h^{\prime }(x)}{h(x)}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)}{h(x)}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{(h(x))}^2}\end{array}$

이어서

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$에서

$g(x)=1$일때

$(f(x){)}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{{(-h(x))}^{\text{'}}}{(h(x){)}^2}$

$=-\frac{h^{\prime }(x)}{h^2(x)}$

같이 보기

• 곱 규칙
• 연쇄 법칙
• 뉴턴의 차분몫