피토 정리

$|PA|=|PB|$

$\begin{array}{cc}& |AB|+|CD|\\ =& (a+b)+(c+d)\\ =& (b+c)+(a+d)\\ =& |BC|+|DA|\end{array}$

피토 정리(틀:Llang)는 외접 사각형에서 마주보는 두 쌍의 변의 길이 합이 동일하다는 기하학의 정리이다.

이는 1725년, 피토 튜브을 발명한 프랑스의 공학자 앙리 피토에 의해 증명되었다.

증명

외접 사각형 $◻ABCD$ 에 대해, 변 $AB,BC,CD,DA$ 와 내접원의 접점을 각각 $P,Q,R,S$ 라 하면 접선의 성질에 의해:$$\{\begin{array}{c}AS=AP\\ BP=BQ\\ CQ=CR\\ DR=DS\end{array}$$따라서 사각형의 반둘레 $s$ 에 대해 다음을 쉽게 보일 수 있다.$$\begin{array}{cc}& AB+CD=(AP+PB)+(CR+DR)\\ & BC+DA=(BQ+CQ)+(DS+AS)\\ ⟹& AB+CD=BC+DA=s\end{array}$$

역

이 정리의 역도 성립한다. 즉, 마주보는 두 쌍의 변의 길이 합이 같은 볼록 사각형에 대해 항상 내접원이 존재한다. 이는 1846년 스위스의 수학자 야코프 슈타이너에 의해 증명되었다.

일반화

피토 정리는 원에 외접하는 $2n$각형에도 적용 될 수 있으며, 이때 각 변의 길이를 시계방향 순으로 $x_1,x_2,x_3,\dots x_{2n}$ 이라 하면 다음이 성립한다.$$x_1+x_3+x_5+\dots +x_{2n-1}=x_2+x_4+x_6+\dots +x_{2n}$$즉, 홀수번째 변들의 길이 합이 짝수번째 변들의 길이 합과 같다는 것이다.