파투 보조정리

틀:위키데이터 속성 추적 실해석학에서 파투 보조정리(틀:Llang)는 가측 함수의 열의 하극한의 르베그 적분과 르베그 적분의 하극한 사이에 성립하는 부등식이다.

정의

파투 보조정리에 따르면, 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 $f_n:X\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\underset{X}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{X}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu$

여기서 $\mathrm{lim\; inf}$는 하극한이다. 틀:증명 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

$g_n:x\mapsto \underset{k\ge n}{\inf }{f}_k(x)$

그렇다면 각 $n\in \mathbb{N}$ 및 $x\in X$에 대하여 $g_n(x)\le f_n(x)$이므로

$\underset{X}{\int }{g}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{X}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu$

이다. 이제 단조 수렴 정리에 따르면,

$\underset{X}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{g}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{X}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu$

을 얻어, 증명이 끝난다. 틀:증명 끝

예

등식

만약 $f_n=c$이 같은 상수 함수의 열일 경우, 파투 보조정리는 등식이 된다.

부등식

실수선 $X=ℝ$ 위의 보렐 시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }=ℬ(ℝ)$와 그 위의 르베그 측도 $\mu ={\mu }_{\mathrm{L}}$를 생각하자.

가측 함수열

$f_n=(1/n)1_{[n,\mathrm{\infty })}$

의 경우, 파투 보조정리의 좌변과 우변은 각각 0과 ∞이므로, 이는 등식이 아니다.

가측 함수열

$f_n=n{1}_{(0,1/n)}$

의 경우도 파투 보조정리는 엄격한 부등식 0<1이다.

역사

프랑스의 수학자 피에르 파투(틀:Llang)가 증명하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki