준자유 전자 모형

틀:위키데이터 속성 추적 응집물질물리학에서 준자유 전자 모형(準自由電子模型, 틀:Lang)은 결정 격자를 자유 전자가 거의 자유롭게 통과한다는 가정 아래 결정의 띠구조를 다루는 모형이다.

전개

준자유 전자 모형은 전자의 위치 에너지 $U(𝐫)$이 그 운동 에너지 ${𝐩}^2/2m$보다 매우 작다고 가정하여, 위치 에너지를 섭동항으로 다루는 모형이다. 전자 사이의 상호작용은 고려하지 않는다.

중심 방정식

전자의 파동 함수와 위치 에너지를 다음과 같이 푸리에 변환하여 정의하자.

$\psi (𝐫)=\sum _{𝐤}{C}_{𝐤}\exp (i𝐤\cdot 𝐫)$

$U(𝐫)=\sum _{𝐆}{U}_{𝐆}\exp (i𝐆\cdot 𝐫)$.

여기서 $\sum _{𝐆}$는 모든 역격자 벡터 $𝐆$에 대한 합이다. 위치 에너지는 실수이어야 하므로

$U_{-𝐆}=U_{𝐆}^{*}$

이다. $U_0$은 위치에 관계없는 값이므로 임의로 $U_0=0$으로 놓는다.

이 변수로 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(k^2/2m-E_{𝐤})C_{𝐤}=\sum _{𝐆}{U}_{𝐆}{C}_{𝐤-𝐆}.$

여기서 $m$은 전자의 질량이고, $E_{𝐤}$는 전자의 총 에너지이다. 이를 중심 방정식(틀:Lang)이라고 한다.

섭동 이론

준자유 전자 모형에서는 위치 에너지가 매우 작다고 가정하므로, $U_{𝐆}$가 $k^2/2m-E$ 보다 매우 작다고 가정하고 섭동 이론을 사용할 수 있다.

0차 섭동 이론에서는 $U_{𝐆}=0$을 놓는다. 그렇다면 자유 전자 모형과 같은 분산 관계를 얻는다.

$k^2/2m=E_{𝐤}^{(0)}$.

1차 섭동 이론에서는 $U_{𝐆}$에 대하여 1차로 비례하는 항을 남긴다. 대부분의 경우에는 에너지의 1차 섭동은 0이다. 하지만 브래그 평면(역격자 벡터를 이등분하는 평면)에서는 섭동이 있을 수 있다. 파수 $𝐤$가 역격자 벡터 $𝐆$의 브래그 평면 위에 있다고 하자. 즉,

$𝐆\cdot (𝐤-𝐆/2)=0$

이라고 하자. 그렇다면

${𝐤}^2=(𝐤-𝐆{)}^2$

이므로, $𝐤$와 $𝐤-𝐆$ 사이에 에너지 겹침이 생긴다. 그렇다면 에너지 1차 섭동 ${𝐄}^{(1)}$은 다음 행렬의 고윳값이고, 에너지 고유 상태는 다음 행렬의 고유벡터이다.

$\left(\begin{array}{cc}0& U_{𝐆}\\ U_{𝐆}^{*}& 0\end{array}\right).$

즉, 에너지 1차 섭동은 다음과 같다.

$E^{(1)}=\pm |U_{𝐆}|.$

따라서 띠틈이 $2|U_{𝐆}|$임을 알 수 있다.

보다 일반적으로, 여러 브래그 평면의 교차점에서는 더 많은 겹침이 있을 수 있다. 예를 들어, 두 개의 브래그 평면 $𝐆$, ${𝐆}^{\prime }$이 겹치는 지점의 경우, 에너지 1차 섭동은 다음 행렬의 고윳값이다.

$\left(\begin{array}{ccc}0& U_{𝐆}& U_{{𝐆}^{\prime }}\\ U_{𝐆}^{*}& 0& U_{𝐆-{𝐆}^{\prime }}^{*}\\ U_{{𝐆}^{\prime }}^{*}& U_{𝐆-{𝐆}^{\prime }}& 0\end{array}\right).$

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 자유 전자 모형