역격자

틀:위키데이터 속성 추적 결정학에서, 브라베 격자의 역격자(逆格子, 틀:Lang)는 원래 격자의 모든 격자 벡터와의 내적이 정수인 벡터들이 이루는 브라베 격자이다.

정의

$Λ \subset ℝ^{n}$ 이 브라베 격자라고 하자. 즉, 유한한 수의 생성원을 가지고, 그 선형생성 부분공간(틀:Lang)이 $ℝ^{n}$ 전체인 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 $Λ$ 의 역격자 $Λ^{- 1}$ 는 다음과 같은 집합이다.

Λ^{- 1} = {𝐯 \in ℝ^{n} : 𝐯 \cdot 𝐮 \in ℤ \forall 𝐮 \in Λ}

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$Λ^{- 1}$ 이 브라베 격자를 이룬다는 사실은 쉽게 확인할 수 있다.

역격자의 기저는 원래 격자의 기저들의 성분이 이루는 행렬의 역행렬이다. 즉, 원래 격자의 기저가 ${𝐚_{i}}$ ( $i = 1, \dots, n$ )이면, 역격자의 기저 ${𝐛_{i}}$ 는 다음을 만족한다.

{[𝐛_{1} 𝐛_{2} \dots 𝐛_{n}]}^{⊤} = {[𝐚_{1} 𝐚_{2} \dots 𝐚_{n}]}^{- 1} .

3차원에서는 역격자의 기저를 벡터곱을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

𝐛_{1} = \frac{𝐚_{2} \times 𝐚_{3}}{𝐚_{1} \cdot (𝐚_{2} \times 𝐚_{3})}

𝐛_{2} = \frac{𝐚_{3} \times 𝐚_{1}}{𝐚_{2} \cdot (𝐚_{3} \times 𝐚_{1})}

𝐛_{3} = \frac{𝐚_{1} \times 𝐚_{2}}{𝐚_{3} \cdot (𝐚_{1} \times 𝐚_{2})}

.

수학과 결정학에서는 위와 같은 정의를 사용하지만, 고체물리학에서는 간혹 다음과 같은 정의를 사용하기도 한다.

Λ^{- 1} = {𝐯 \in ℝ^{n} : 𝐯 \cdot 𝐮 / 2 π \in ℤ \forall 𝐮 \in Λ}

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이는 앞의 정의에 비교하여 벡터가 $2 π$ 배 더 긴 것 밖에는 차이가 없다.