삼진 골레 부호

틀:위키데이터 속성 추적 군론과 컴퓨터 과학에서 삼진 골레 부호(三進Golay符號, 틀:Llang)는 마티외 군을 자기 동형군으로 갖는 삼진 선형 부호이다.

정의

표준형 생성 행렬

$G=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 2& 2& 1\\ 1& 1& 0& 1& 2& 2\\ 1& 2& 1& 0& 1& 2\\ 1& 2& 2& 1& 0& 1\\ 1& 1& 2& 2& 1& 0\end{array}\right)$

으로 정의되는, ${𝔽}_3^{12}$ 속의 삼진 선형 부호

$\mathrm{im}G⊊{𝔽}_3^{12}$

를 (확장) 삼진 골레 부호(틀:Llang) $G_{12}$라고 한다.

확장 삼진 골레 부호에서, 임의의 한 성분을 삭제하면, 완전 삼진 골레 부호(틀:Llang) $G_{11}$를 얻는다.

성질

확장 삼진 골레 부호는 [12,6,6]₃-선형 부호이다. 즉,

• 만약 각 블록마다 3개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 교정할 수 있다.
• 만약 각 블록마다 5개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 발견할 수 있다.

완전 삼진 골레 부호는 [11,6,5]₃-선형 부호이며, 완전 블록 부호이다. 즉,

• 만약 각 블록마다 2개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 교정할 수 있다.
• 만약 각 블록마다 4개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 발견할 수 있다.
• 해밍 상계를 포화시킨다.

부호어

확장 삼진 골레 부호는 $3^6=729$개의 부호어를 가지며, 그 부호어의 해밍 무게는 $\{0,6,9,12\}$의 원소이다. 각 해밍 무게를 갖는 부호어의 수는 다음과 같다. 틀:OEIS

확장 삼진 골레 부호의 부호어

해밍 무게	부호어의 수	부호어에서 값이 +1인 성분의 수
0	1	0
6	264	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
9	440	2, 3, 4, 5, 6, 7
12	24	1, 5, 7, 11

예를 들어, 해밍 무게가 12인 부호어에서, 값이 0인 성분은 $12-12=0$개이며, 값이 1인 성분은 1개 또는 5개 또는 7개 또는 11개이며, 값이 2인 성분은 $12-1=11$개 또는 $12-5=7$개 또는 $12-7=5$개 또는 $12-11=1$개이다.

마찬가지로, 완전 삼진 골레 부호는 $3^6=729$개의 부호어를 가지며, 그 부호어의 해밍 무게는 $\{0,5,6,8,9,11\}$의 원소이다. 각 해밍 무게를 갖는 부호어의 수는 다음과 같다. 틀:OEIS

완전 삼진 골레 부호의 부호어

해밍 무게	부호어의 수	부호어에서 값이 +1인 성분의 수
0	1	0
5	132	0, 1, 2, 3, 4, 5
6	132	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8	330	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9	110	2, 3, 4, 5, 6, 7
11	24	1, 4, 5, 6, 7, 10

대칭

확장 삼진 골레 부호의 자기 동형군

$\mathrm{Aut}(G_{12})\le \mathrm{Sym}(12)$

은 마티외 군 $M_{12}$의 2차 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to \mathrm{Cyc}(2)\hookrightarrow \mathrm{Aut}(G_{12})\twoheadrightarrow M_{12}\to 1$

또한 $\mathrm{Cyc}(2)\le \mathrm{Z}(\mathrm{Aut}(G_{12}))$이다.

완전 삼진 골레 부호의 자기 동형군은 다음과 같은 마티외 군이다.

$M_{11}\cong \mathrm{Aut}(G_{12})\le \mathrm{Sym}(11)$

역사

삼진 골레 부호는 이미 1947년에 핀란드의 축구 애호가 유나히 비르타칼리오(틀:Llang, 필명 틀:Llang)가 토토칼초를 짜기 위하여 한 토토칼초 잡지 《베이카야》(틀:Llang)에 기고한 글에 수록되었다.틀:Rp 틀:Rp 이 글에서 비르타칼리오는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

이후 스위스의 수학자 마르셀 쥘 에두아르 골레(틀:Llang, 1902~1989)가 1949년에 1쪽도 채 되지 않는 “논문”에서 이진 골레 부호와 함께 삼진 골레 부호를 재발견하였다.

같이 보기

• 이진 골레 부호

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드