배수 (수학)

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수론에서, 주어진 정수의 배수(倍數, 틀:Llang)는 그 정수에 어떤 정수를 곱한 수이다. 즉, 그 수에 의해 나누어떨어지는 수이다.

정의

정수 $n \in ℤ$ 의 배수는 다음 조건을 만족시키는 정수 $m \in ℤ$ 이다.

$m = n k$ 인 정수 $k \in ℤ$ 가 존재한다.

(일부 문헌에서는 $n \neq 0$ 을 가정하기도 한다.)

성질

정수 $n \in ℤ$ 의 배수의 집합은 다음과 같다.

\begin{matrix} n ℤ & = {n k : k \in ℤ} \\ = {\dots, - 3 n, - 2 n, - n, 0, n, 2 n, 3 n, \dots} \end{matrix}

정수의 배수의 집합은 특히 0과 자기 자신을 원소로 가지며, 정수 계수 선형 결합에 의해 닫혀있다. 즉, 정수 $n$ 에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

$n$ 은 $n$ 의 배수다.
0은 $n$ 의 배수다.
$m_{1}, m_{2}, \dots, m_{t}$ 가 $n$ 의 배수라면, $k_{1} m_{1} + k_{2} m_{2} + \dots + k_{t} m_{t}$ ( $k_{i} \in ℤ$ ) 역시 $n$ 의 배수다.
위 세 성질로부터 유도될 수 없다면 $n$ 의 배수가 아니다.

정수의 배수의 집합은 정수환의 아이디얼을 이룬다. 소수의 배수의 집합은 정수환의 소 아이디얼을 이룬다. 반대로, 정수환의 모든 아이디얼은 어떤 정수의 배수의 집합이다.

특히 육진법와 십진법에서는 소인수에 2, 3, 5 중 하나가 포함된 숫자의 배수 판정이 매우 간단하다. 이것은 육진법에서는 10 = 2×3 = 5+1이되고, 십진법에서는 10 = 2×5 = 3²+1되기 때문이다.

십진법의 배수 판정

십진법에서, 작은 자연수들의 배수 판정 방법은 다음과 같다. 일부는 통상적인 나눗셈을 통한 방법보다 느릴 수 있다.

0의 배수는 0뿐이다. 임의의 정수 $k \in ℤ$ 에 대하여 $0 k = 0$ 이기 때문이다.
1의 배수는 모든 정수다. 임의의 정수 $k \in ℤ$ 에 대하여 $1 k = k$ 이기 때문이다.
2의 배수인 정수를 짝수라고 한다. 어떤 정수가 짝수일 필요충분조건은 십진법 전개의 일의 자릿수가 짝수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.)
- 예를 들어, 26은 일의 자릿수가 6이므로 짝수이며, 17은 일의 자릿수가 7이므로 짝수가 아니다.
어떤 정수가 3의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 모든 자릿수의 합이 3의 배수인 것이다. (이는 재귀적인 판정 방법이다.)
- 예를 들어, 573은 모든 자릿수의 합이 $5 + 7 + 3 = 15$ 이고, 15가 3의 배수이므로 573은 3의 배수다.
- 그러나, 283은 모든 자릿수의 합이 $2 + 8 + 3 = 13$ 이고, 13이 3의 배수가 아니므로 283은 3의 배수가 아니다.
어떤 정수가 4의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 뒤의 두 자릿수가 4의 배수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.) 더 쉽게는 뒤에서 2번째 자리(십의 자리)가 짝수라면, 맨 끝의 자리(일의 자리)가 0, 4, 8일 때 4의 배수이고, 십의 자리가 홀수라면, 일의 자리가 2, 6일 때 4의 배수다.
- 예를 들어, 4316은 뒤의 두 자릿수가 16이므로 4의 배수다. 또, 189,278,504는 십의 자리가 0이므로 짝수이고(0도 짝수다.) 일의 자리가 4이므로 4의 배수다.
어떤 정수가 5의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 일의 자릿수가 0이나 5인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.)
- 예를 들어, 15는 일의 자릿수가 5이므로 5의 배수다.
어떤 정수가 6의 배수일 필요충분조건은 2의 배수(짝수)이면서 동시에 3의 배수인 것이다.
- 예를 들어, 246은 모든 자릿수의 합이 $2 + 4 + 6 = 12$ 인 3의 배수이면서 짝수이므로, 246은 6의 배수다.
- 그러나, 315는 3의 배수이지만 홀수이므로, 315는 6의 배수가 아니다. 또, 428은 짝수이지만 3의 배수가 아니므로, 428은 6의 배수가 아니다.
어떤 정수가 7의 배수일 필요충분조건은, 십진법 전개의, 오른쪽부터 세 자릿수씩의 교대합이 7의 배수인 것이며, 일의 자릿수의 두 배를 나머지 자릿수에서 뺀 차가 7의 배수인 것이다. (이는 재귀적인 판정 방법이다.)
- 예를 들어, 1, 369, 851은 $851 - 369 + 1 = 483$ ; $48 - 3 \times 2 = 42$ 이므로 7의 배수다.
어떤 정수가 8의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 뒤의 세 자릿수가 8의 배수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.)
- 예를 들어, 20120은 뒤의 세 자릿수가 $120 = 8 \times 15$ 이므로 8의 배수다.
어떤 정수가 9의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 모든 자릿수의 합이 9의 배수인 것이다.
- 예를 들어, 765는 모든 자릿수의 합이 $7 + 6 + 5 = 18$ 이고, 18이 9의 배수이므로 765는 9의 배수다.
- 그러나, 168은 모든 자릿수의 합이 $1 + 6 + 8 = 15$ 이고, 15가 9의 배수가 아니므로 168은 9의 배수가 아니다.
어떤 정수가 10의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 일의 자릿수가 0인 두 자리 이상의 정수인 것이다.
- 예를 들어, 5320은 일의 자릿수가 0이므로 10의 배수다.
어떤 정수가 11의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 홀수째 자릿수의 합과 짝수째 자릿수의 합이 같은지 여부다.
- 예를 들어, 10241은 $1 + 2 + 1 = 0 + 4$ 이므로 11의 배수다.

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배수 (수학)

목차

정의

성질

십진법의 배수 판정

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