바우스필드 국소화

틀:위키데이터 속성 추적 모형 범주 이론에서, 바우스필드 국소화(Bousfield局所化, 틀:Llang)는 주어진 모형 범주의 약한 동치 모임을 확장시키는 한 방법이다.

정의

모형 범주 $(𝒞,𝔚,𝔉,ℭ)$가 주어졌다고 하자. 또한, 3개 가운데 2개 성질을 만족시키는 사상 모임

${𝔚}_{\text{loc}}\supseteq 𝔚$

이 존재한다고 하자. 그렇다면, $𝒞$의 ${𝔚}_{\text{loc}}$에 대한 왼쪽 바우스필드 국소화(틀:Llang)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 모형 범주 $({𝒞}_{\text{loc,left}},{𝔚}_{\text{loc}},{𝔉}_{\text{loc}},ℭ)$이다.

• ${𝒞}_{\text{loc,left}}$의 약한 동치 모임은 ${𝔚}_{\text{loc}}$이다.
• ${𝒞}_{\text{loc,left}}$의 쌍대올뭉치 모임은 $ℭ$이다. (즉, $𝒞$에서와 같다.)
• ${𝒞}_{\text{loc,left}}$의 올뭉치 모임 ${𝔉}_{\text{loc}}\subseteq 𝔉$은 오른쪽 올림 성질로부터 결정된다. 즉, ${𝔉}_{\text{loc}}=({𝔚}_{\text{loc}}\cap {ℭ}_{\text{loc}}{)}^{⋔}$이다.

이 경우, 비순환 쌍대올뭉치 모임은 증가하고, 따라서 올뭉치 모임은 감소하지만, 비순환 올뭉치 모임은 변하지 않는다.틀:Rp

$(ℭ{)}^{⋔}=𝔚\cap 𝔉={𝔚}_{\text{loc}}\cap {𝔉}_{\text{loc}}$

또한, 항등 함자 $𝒞\to {𝒞}_{\text{loc,left}}$는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, ${𝒞}_{\text{loc,left}}$는 퀼런 수반 모형 범주 쌍$({𝒞}_{\text{loc,left}},𝒞)$의 왼쪽 성분이 된다.

마찬가지로, 오른쪽 바우스필드 국소화(틀:Llang) $({𝒞}_{\text{loc,right}},{𝔚}_{\text{loc}},𝔉,{ℭ}_{\text{loc}})$는 올뭉치 모임을 그대로 두고, 쌍대올뭉치 모임을 바꾸는 것이다. 이 경우 마찬가지로

${ℭ}_{\text{loc}}\subseteq ℭ$

${⋔}^{}(𝔉)=𝔚\cap ℭ={𝔚}_{\text{loc}}\cap {ℭ}_{\text{loc}}$

가 된다. 또한, 항등 함자 $𝒞\to {𝒞}_{\text{loc,left}}$는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, ${𝒞}_{\text{loc,right}}$는 퀼런 수반 모형 범주 쌍 $(𝒞,{𝒞}_{\text{loc,right}})$의 오른쪽 성분이 된다.

국소 약한 동치

흔히, ${𝔚}_{\text{loc}}$는 다음과 같이 어떤 사상 집합 $S$에 대한 국소 약한 사상(틀:Llang)으로 얻어진다. 왼쪽 바우스필드 국소화의 경우 다음과 같다. (오른쪽 바우스필드 국소화의 경우 그 쌍대화를 사용한다.)

$𝒞$가 단체 집합의 범주 위의 풍성한 범주이며, 그 구조가 모형 범주 구조와 호환된다고 하자. 또한, 정의역이 쌍대올대상인 쌍대올뭉치 집합 $S$가 주어졌다고 하자. $𝒞$ 속의 올대상 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $C$-국소 올대상(틀:Llang)이라고 한다.

• 모든 사상 $(f\in C):A\hookrightarrow B$에 대하여, $f^{*}:{\mathrm{hom}}_{𝒞}(B,X)\to {\mathrm{hom}}_{𝒞}(A,X)$는 비순환 올뭉치를 이룬다. (즉, 약한 동치이며 칸 올뭉치이다.)

$𝒞$ 속의 쌍대올뭉치 $f:A\hookrightarrow B$가 다음 조건을 만족시킨다면, $S$-국소 약한 동치(틀:Llang)라고 한다.

• 모든 $S$-국소 올대상 $X$에 대하여, $f^{*}:{\mathrm{hom}}_{𝒞}(B,X)\to {\mathrm{hom}}_{𝒞}(A,X)$는 비순환 올뭉치를 이룬다.

역사

올드리지 나이트 바우스필드(틀:Llang, 틀:IPA2)가 1979년에 스펙트럼을 다루기 위하여 도입하였다.

같이 보기

• 위상 공간 국소화

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용