말러의 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 말러의 부등식(틀:Llang, Mahler's inequality, -不等式)은 부등식의 일종으로, 독일 수학자 쿠르트 말러(Kurt Mahler)가 제시하여 그의 이름이 붙어 있다. 민코프스키 부등식의 대수적 형태를 곱 형태로 변형시킨 것이라 볼 수 있는 부등식으로, 2n개의 양수 $x_1,...,x_n$ 과 $y_1,...,y_n$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $\prod _{k=1}^n(x_k+y_k{)}^{1/n}\ge \prod _{k=1}^n{x}_k^{1/n}+\prod _{k=1}^n{y}_k^{1/n}.$

증명

증명은 간단하게 할 수 있다. 먼저 산술-기하 평균 부등식에 따라서 다음 두 식을 얻고,

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{x_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{x_k}{x_k+y_k}.$

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{y_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{y_k}{x_k+y_k}.$

이 두 식을 더하여 다음 식을 얻는다.

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{x_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}+\prod _{k=1}^n{\left(\frac{y_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}n=1.$

이제 양 변에 $\prod _{k=1}^n(x_k+y_k{)}^{1/n}$ 을 곱하면 말러의 부등식이 된다.

같이 보기

• 민코프스키 부등식

외부 링크

• [1]