론스키 행렬식

론스키 행렬식(Wroński行列式, 틀:Llang) 또는 브론스키 행렬식은 선형대수학과 미적분학, 미분기하학 등에서 사용되는 식으로, 유한 개 함수들의 집합이 일차독립인지를 판별하는 도구이다.

정의

어떤 구간 $I$에서 정의된 $n$개의 함수 $f_1,f_2,...,f_n:I\to ℝ$가 모두 $n-1$번 미분가능하다고 하자. 그렇다면, $I$에서 이 집합의 론스키 행렬식 $W(f_1,\dots ,f_n)$은 다음과 같은, $f_i$의 도함수들의 행렬식이다.틀:Rp

$W(f_1,\dots ,f_n)(x)=\det \left(\begin{array}{cccc}{f}_1(x)& f_2(x)& \cdots & f_n(x)\\ {f_1}^{\prime }(x)& {f_2}^{\prime }(x)& \cdots & {f_n}^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x)& \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right)(x\in I)$

성질

만약 이상의 구간 I에서 집합의 론스키 행렬식이 항상 0이 아니면, 이 집합은 일차독립이 된다. 왜냐하면, 만약 이 집합이 I에서 일차종속이라면 I에서 모두는 0이 아닌 계수 $k_1,...,k_n$에 대해 다음 식이 성립하는데,

$k_1{f}_1(x)+...+k_n{f}_n(x)=0$

이를 n-1번 미분한 모든 식을 이용해 함수식을 행렬로 만들고 계수로 묶으면,

$0=\left(\begin{array}{cccc}{f}_1(x)& f_2(x)& \cdots & f_n(x)\\ {f_1}^{\prime }(x)& {f_2}^{\prime }(x)& \cdots & {f_n}^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x)& \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right),x\in I.$

이 된다. 그런데 이때 $k_1,...,k_n$은 조건에 의해 자명하지 않은 해를 가지므로 I에서 이 행렬의 행렬식은 0이 된다. 이로부터 결과를 얻는다.

역사

폴란드의 수학자 유제프 마리아 호에네브론스키(틀:Llang)가 1812년에 도입하였다. 론스키 행렬식이라는 용어는 스코틀랜드의 수학자 토머스 뮤어(틀:Llang)가 1882년에 최초로 사용하였다.틀:Rp

같이 보기

• 아벨의 항등식
• 방데르몽드 행렬

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드