관측 가능성

틀:위키데이터 속성 추적 제어이론에서 관측 가능성(observability)이란 시스템의 출력 변수(output variable)를 사용하여 상태 변수(state variable)에 대한 정보를 알아낼 수 있는지를 나타내는 용어이다. 시스템의 출력 변수를 사용하여 특정 상태 변수에 대한 정보를 알아낼 수 있을 때 그 상태 변수는 관측 가능하다(observable)고 하며, 시스템의 모든 상태 변수가 관측 가능할 때 그 시스템은 관측 가능하다고 한다.

관측 가능성 판별

아래 관측 가능성 판별 방법은 선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)에 대해서만 적용 가능하다.

선형 시불변 시스템의 상태 변수 방정식은 다음 식과 같다.

$\dot{𝐱}(t)=𝐀𝐱(t)+𝐁u(t)$

$y(t)=𝐂𝐱(t)+Du(t)$

이러한 시스템에 대하여 관측 가능성 행렬(observability matrix) ${𝐌}_O$는 다음 식과 같이 정의된다.

${𝐌}_O=\left[\begin{array}{c}𝐂\\ 𝐂𝐀\\ 𝐂{𝐀}^2\\ ⋮\\ 𝐂{𝐀}^{n-1}\end{array}\right]$

여기에서 $n$은 이 시스템의 차수이다.

이 관측 가능성 행렬의 역행렬이 존재하면 이 시스템은 관측 가능하다.

관측 가능 표준형

어떤 시스템이 다음과 같은 미분방정식으로 나타내어진다고 할 때,

$\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_{n-1}\frac{d^{n-1}u(t)}{d{t}^{n-1}}+b_{n-2}\frac{d^{n-2}u(t)}{d{t}^{n-2}}+\cdots +b_1\frac{du(t)}{dt}+b_{0}u(t)$

이 시스템이 관측 가능하다면 다음과 같은 형태로 상태 변수 방정식을 쓸 수 있다.

$\dot{𝐱}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right]𝐱+\left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ ⋮\\ b_{n-1}\end{array}\right]u$

$y=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]𝐱$

이러한 형태의 상태 변수 방정식을 관측 가능 표준형(observable canonical form)이라고 한다.

같이 보기

• 제어이론
• 상태공간표현식
• 제어 가능성