제어 가능성

틀:위키데이터 속성 추적 제어이론에서 제어 가능성(controllability)이란 시스템의 입력 변수(input variable)를 조절함으로써 특정한 상태 변수(state variable) 혹은 전체 시스템을 조절할 수 있는지를 나타내는 용어이다. 입력 변수를 조절함으로써 특정한 상태 변수를 조절할 수 있을 때 그 상태 변수는 제어 가능하다(controllable)고 하며, 시스템의 모든 상태 변수가 제어 가능할 때 그 시스템은 제어 가능하다고 한다.

제어 가능성 판별

아래 제어 가능성 판별 방법은 선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)에 대해서만 적용 가능하다.

선형 시불변 시스템의 상태 변수 방정식은 다음 식과 같다.

$\dot{𝐱}(t)=𝐀𝐱(t)+𝐁u(t)$

$y(t)=𝐂𝐱(t)+Du(t)$

이러한 시스템에 대하여 제어 가능성 행렬(controllability matrix) ${𝐌}_C$는 다음 식과 같이 정의된다.

${𝐌}_C\equiv \left[\begin{array}{ccccc}𝐁& 𝐀𝐁& {𝐀}^2𝐁& \cdots & {𝐀}^{n-1}𝐁\end{array}\right]$

여기에서 $n$은 이 시스템의 차수이다.

이 제어 가능성 행렬의 역행렬이 존재하면 이 시스템은 제어 가능하다.

제어 가능 표준형

어떤 시스템이 다음과 같은 미분방정식으로 나타내어진다고 할 때,

$\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_{n-1}\frac{d^{n-1}u(t)}{d{t}^{n-1}}+b_{n-2}\frac{d^{n-2}u(t)}{d{t}^{n-2}}+\cdots +b_1\frac{du(t)}{dt}+b_{0}u(t)$

이 시스템이 제어 가능하다면 다음과 같은 형태로 상태 변수 방정식을 쓸 수 있다.

$\dot{𝐱}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]𝐱+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]u$

$y=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_0& b_1& \cdots & b_{n-2}& b_{n-1}\end{array}\right]𝐱$

이러한 형태의 상태 변수 방정식을 제어 가능 표준형(controllable canonical form)이라고 한다

같이 보기

• 제어이론
• 상태공간표현식
• 관측 가능성