헬리의 정리
헬리의 정리는 볼록 다각형의 교집합에 관한 이산 기하학의 기본적인 결과이다. 이것은 1913년에 에두아르트 헬리가 발견했다[1]. 하지만 1923년까지는 그는 출판하지 않았고, 그 때는 이미 틀:Harvtxt와 틀:Harvtxt에 의해서 다른 증명이 나왔었다. 헬리의 정리는 헬리족의 개념을 제시했다.
명제
틀:Math를 틀:Math인 틀:Math의 볼록 부분집합의 유한한 집합이라고 하자. 만약 모든 이 집합의 원소 틀:Math개의 교집합이 공집합이 아니라면, 전체 집합의 교집합도 공집합이 아니다;
무한한 집합에서는 콤팩트성을 가정해야 한다:
틀:Math를 틀:Math의 콤팩트 볼록 부분집합의 집합이라고 가정하면, 크기가 틀:Math인 모든 부분집합의 교집합이 공집합이 아니라고 하면, 전체 집합의 교집합도 공집합이 아니다.
증명
틀:Harvtxt가 라돈의 정리를 통해서 유한한 경우를 증명했다. 그러면 무한한 경우는 콤팩트성의 유한 교집합 성질 특성화를 따른다: 콤팩트 공간의 닫힌 부분집합의 집합은 모든 유한한 부분집합의 교집합이 공집합이 아닐 때만 공집합이 아니다 (한번 한 집합을 고정하면, 그것을 포함하는 다른 모든 것들의 교집합은 고정한 콤팩트 공간의 닫힌 부분집합이다).
증명은 귀납법으로 이루어졌다:
기본적인 경우: 틀:Math라고 가정하면, 가정에 의해 모든 틀:Math에 대해서 틀:Math의 가능한 예와가 있는 모든 틀:Math의 공통 교집합의 점 틀:Math가 있다. 이제 틀:Math}에 라돈의 정리를 사용한다. 틀:Mvar는 틀:Math의 볼록 폐포가 틀:Math 의 볼록폐포와 교차하는 틀:Mvar의 서로소 부분집합 틀:Math을 준다. 틀:Mvar가 이 두 볼록 폐포의 교집합에 있는 점이라고 가정하자. 그러면 다음과 같이 말할 수 있다:
이제, 어떤 틀:Math}에 대하여 생각하자. 틀:Math를 증명해야만 한다. 틀:Math에 있지 않을 수 있는 틀:Mvar의 원소는 틀:Math라는 것을 기억하라. 틀:Math일 경우에는, 틀:Math이고, 따라서 틀:Math이다. 틀:Math가 볼록이기 때문에, 이것은 또한 틀:Math의 볼록 폐포를 포함하고 따라서 또한 틀:Math이다. 비슷하게, 틀:Math이면, 틀:Math이고, 같은 추론으로 틀:Math이다. 틀:Mvar가 모든 틀:Math에 있기 때문에, 이것은 반드시 교집합에 있어야 한다.
위에서, 점 틀:Math들은 모두 떨어져 있다고 가정했다. 이렇지 않은 경우에는, 일부 틀:Math에 대해서 틀:Math라고 하면, 틀:Math는 집합 틀:Math의 전부에 있다, 그리고 다시 교집합은 공집합이 아니라고 결론지을 수 있다. 이것은 틀:Math인 경우의 증명을 완성한다.
귀납적 단계: 틀:Math이고 틀:Math일 때 위의 명제가 참이라고 가정하자. 위의 증명은 어떤 집합 틀:Math 개의 부분집합의 교집합은 공집합이 아니라는 것을 보인다. 이제는 두 집합 틀:Math과 틀:Math을 하나의 집합 틀:Math으로 바꾼 집합을 고려한다. 이 새로운 집합에서, 모든 집합 틀:Math 개의 부분집합의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서 유도 가설이 적용되고, 이 새로운 집합의 교집합이 공집합이 아니라는 것을 보인다. 이것은 원래의 집합에 동일하게 적용되고, 증명을 완성한다.