하디의 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 하디의 부등식(Hardy's inequality, -不等式)은 영국의 수학자인 고드프리 해럴드 하디가 1920년 제시한 부등식이다. 이 부등식은 하디-리틀우드-포여 정리 및 민코프스키 부등식의 따름정리로 얻을 수 있으며, 칼레만의 부등식 등 여러 부등식을 증명하는 데 사용된다. 크게 두 가지 형태로 쓸 수 있다.

대수적 형태

$a_i$를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}\right)}^p\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p$

적분 형태

f가 실수 상의 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1<p<∞이라 할 때, 다음 두 부등식이 성립한다.

1. $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx.$
2. $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t}f(t)dt)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx.$

여기서 첫 번째 부등식은 p=∞일 때도 성립한다.

같이 보기

• 하디-리틀우드-포여 정리
• 칼레만의 부등식

참고 문헌

• 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002