피에르츠-파울리 작용

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 피에르츠-파울리 작용(Fierz-Pauli作用, 틀:Llang) 또는 선형화 중력(線型化重力, 틀:Llang)은 스핀 2의 무질량 자유 입자를 나타내는 작용이다. 이는 일반 상대성이론 및 다른 중력 이론들의 선형화 극한에 해당한다.

정의

$D$차원 민코프스키 공간 위에서, 대칭 (0,2)차 텐서장 $h_{\mu \nu }$를 생각하자. 그렇다면, 이에 대한 피에르츠-파울리 작용은 다음과 같다.틀:Rp

$S=\int {\mathrm{d}}^{D}x{ℒ}_{\text{FP}}=\int {\mathrm{d}}^{D}x(\frac{1}{4}{\partial }^{\mu }{h}^{\nu \rho }{\partial }_{\mu }{h}_{\nu \rho }-\frac{1}{2}{\partial }^{\mu }{h}^{\nu \rho }{\partial }_{\nu }{h}_{\mu \rho }+\frac{1}{2}({\partial }^{\mu }\mathrm{tr}h){\partial }^{\nu }{h}_{\mu \nu }-\frac{1}{4}({\partial }^{\mu }\mathrm{tr}h)({\partial }_{\mu }\mathrm{tr}h))$

여기서

• $\eta =\mathrm{diag}(-1,1,\dots ,1)$는 민코프스키 공간의 계량이다.
• 첨자는 ${\eta }_{\mu \nu }$를 사용하여 올리거나 내린다. 즉, ${\partial }^{\mu }={\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }$, $h^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }{h}_{\rho \sigma }$이다.
• $\mathrm{tr}h={\eta }^{\mu \nu }{h}_{\mu \nu }$는 $h_{\mu \nu }$의 대각합이다.

성질

피에르츠-파울리 작용의 운동 방정식은 다음과 같다.

$0={\partial }^2{h}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }h-{\partial }^{\rho }({\partial }_{\mu }{h}_{\nu \rho }+{\partial }_{\nu }{h}_{\mu \rho })$

텐서장 $h_{\mu \nu }$는 다음과 같은 게이지 변환을 갖는다.

${\delta }_X{h}_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{X}_{\nu }+{\partial }_{\nu }{X}_{\mu }$

게이지 변환을 사용하여, $D(D+1)/2$개의 성분 가운데 $2D$개를 없앨 수 있으며, 남은 $D(D-3)/2$개의 성분들은 스핀이 2인 자유 무질량 입자를 나타낸다. 이는 4차원에서 총 2개의 질량 껍질 위 자유도에 해당한다. (만약 게이지 대칭을 가하지 않으면, 이는 4차원에서 일반적으로 5개의 질량 껍질 위 자유도에 해당하며, 이는 1개의 스핀 2의 입자와 1개의 스핀 1의 입자와 1개의 스핀 0 입자에 해당한다.)

유도

이 작용은 두 가지로 유도할 수 있다.

일반 상대성 이론의 선형화

$D$차원 일반 상대성이론에서, 리만 계량을 다음과 같이 전개하자.

${\hat{g}}^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \nu }-{\kappa }^{-1}{h}_{\mu \nu }$

${\hat{g}}_{\mu \nu }{\hat{g}}^{\nu \rho }={\delta }_{\mu }^{\rho }$

$g_{\mu \nu }=\sqrt{|\det \hat{g}|}{\hat{g}}_{\mu \nu }$

그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 전개할 수 있다.

$S_{\text{EH}}=\int {\mathrm{d}}^{D}x\sqrt{|\det g|}R=\int {\mathrm{d}}^{D}x{ℒ}_{\text{PF}}+𝒪(h^4)$

즉, 전개에서 최소차 항만을 남기면 피에르츠-파울리 이론을 얻는다.

스핀 2 입자의 일반적 작용

일반적으로, 대칭 2차 텐서장 $h$의 로런츠 대칭 불변 작용은 다음과 같은 네 개의 항을 가질 수 있다

$ℒ\ni {\partial }_{\mu }{h}_{\nu \rho }{\partial }^{\mu }{h}^{\nu \rho },{\partial }_{\mu }{h}_{\nu \rho }{\partial }^{\nu }{h}^{\mu \rho },({\partial }_{\mu }\mathrm{tr}h){\partial }^{n}u{h}^{\mu \nu },({\partial }_{\mu }\mathrm{tr}h)({\partial }^{\mu }\mathrm{tr}h)$

물론, 그 계수들은 일반적으로 임의적이다. 그러나 여기서 운동 방정식

$\frac{\delta ℒ}{\delta h^{\mu \nu }}=H^{\mu \nu }$

으로부터 비앙키 항등식

${\partial }_{\mu }{H}^{\mu \nu }=0$

이 운동 방정식을 사용하지 않고 성립하려면, 이 계수 사이의 비들을 계산할 수 있다. (물론, 작용 전체에 상수를 곱해도 상관이 없다.) 이를 계산하면, 피에르츠-파울리 작용을 얻는다.

역사

마르쿠스 에두아르트 피에르츠(틀:Llang, 틀:IPA2)와 볼프강 파울리가 1939년에 도입하였다.

같이 보기

• 대응원리
• 중력 자성

외부 링크

• 틀:웹 인용