푸앵소 타원체

고전역학에서 푸앵소 타원체(Poinsot楕圓體, 틀:Lang)는 어떤 주어진 회전 운동 에너지를 가진 강체가 가질 수 있는 각속도의 집합이며, 각속도 공간에서 타원체를 이룬다. 여기에 각운동량 보존 법칙을 적용하면 강체의 운동 궤도를 알 수 있다. 프랑스의 물리학자 루이 푸앵소(틀:Lang)의 이름을 딴 것이다.

역사

프랑스의 수학자이자 물리학자였던 루이 푸앵소(틀:Lang, 1777–1859)가 1834년에 도입하였다.

정의

각속도 $\mathit{\omega }$를 가진 강체를 생각하자. 그렇다면 강체의 회전 운동 에너지 $T$는 (관성 주축 좌표계에서)

$T=\frac{1}{2}{\omega }_1^2{I}_1+\frac{1}{2}{\omega }_2^2{I}_2+\frac{1}{2}{\omega }_3^2{I}_3$

이다. 여기서 $\mathit{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$은 각속도의 주축 성분이고,

$𝖨=\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ & I_2\\ & & I_3\end{array}\right)$

은 강체의 관성 모멘트 텐서의 주축 성분이다. 강체가 외부 돌림힘을 받지 않으면 회전 운동 에너지는 보존된다. 따라서, 강체의 각속도는 주어진 회전 운동 에너지 $T$를 가지는 각속도 공간에서의 타원체에 국한되게 된다. 이를 푸앵소 타원체라고 한다. 푸앵소 타원체는 강체의 주축에 따라 정의되어 있으므로, 마치 강체에 붙어 있는 듯 강체의 회전에 따라 회전한다.

강체는 (외부 돌림힘이 없을 경우) 에너지뿐만 아니라 각운동량 $𝐋$도 보존한다.

$𝐋=𝖨\mathit{\omega }$.

이에 따라, 회전 운동 에너지를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$T=\frac{1}{2}\mathit{\omega }\cdot 𝐋$.

따라서, 강체의 각속도는 위 식으로 정의된 어떤 평면에 국한되게 되는데, 이를 불변면(틀:Lang) 또는 불변성면이라고 부른다. 불변면은 주축이 아니라 관성좌표계에서의 평면이다. 즉, 강체의 회전에 관계없이 절대적인 평면이다.

강체의 각속도는 따라서 푸앵소 타원체와 불변면의 교차선을 따라 움직이게 되고, 이로써 물체의 궤적을 계산할 수 있다.

같이 보기

• 강체
• 오일러 각
• 오일러 운동 방정식