평사도법

평사도법(平射圖法, stereographic projection)은 지도 투영법에서 극사영을 부르는 말로 정각도법이다. 타원체에 맞게 변형한 것을 포함한다.

공식

극을 투영 원점으로 삼았을 때, 위도를 $\varphi$, 지도상의 거리를 $r$이라 하면 다음과 같이 주어진다.

$r=2(\sec \varphi -\tan \varphi )$

증명

틀:글 숨김 정각성에 의해 다음이 성립한다.

$-\frac{d\varphi }{\cos \varphi d\lambda }=\frac{dr}{rd\lambda }$

$\frac{dr}{r}=-\sec \varphi d\varphi$

$\log r=\log (\sec \varphi -\tan \varphi )+C$

이제 $C$를 구하면 된다. 투영 원점 근처에서는 길이가 보존되어야 하므로, $r^{\prime }(\frac{\pi }{2})=-1$이다.

위의 식에서 $\frac{dr}{d\varphi }=e^C(\sec \varphi \tan \varphi -{\sec }^2\varphi )$ 이므로,

$-1=r^{\prime }(\frac{\pi }{2})=\underset{\varphi \to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }{e}^C(\sec \varphi \tan \varphi -{\sec }^2\varphi )=e^C\underset{\varphi \to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\frac{\sin \varphi -1}{{\cos }^2\varphi }=-\frac{e^C}{2}$

따라서 $e^C=2$ 가 된다. 틀:글 숨김 끝