퍼르커시 보조정리

틀:위키데이터 속성 추적 수학적 최적화에서 퍼르커시 보조정리(틀:Llang)는 어떤 볼록뿔과 이에 속하지 않는 벡터 사이를 초평면으로 분리할 수 있다는 정리다.

정의

$A$ 가 $m \times n$ 실수 행렬이며, $𝐛 \in ℝ^{m}$ 가 $m$ 차원 실수 벡터라고 하자. 그렇다면, 다음 두 명제 가운데 정확히 하나만이 성립한다.

{\sum_{i = 1}^{n} 𝐀_{i} x_{i} | x_{i} \geq 0}

에 속한다.

Span {𝐲}^{⊥} = {𝐳 \in ℝ^{m} | 𝐳^{⊤} 𝐲 = 0}

이 존재하여,

𝐛

와 볼록뿔

{\sum_{i = 1}^{n} 𝐀_{i} x_{i} | x_{i} \geq 0}

은 이 초평면의 양쪽에 각각 존재한다.

여기서 $𝐱 \in ℝ^{m}$ 이 $𝐱 \geq 0$ 라는 것은 $𝐱$ 의 모든 성분이 음수가 아니라는 것이다.

헝가리의 과학자 퍼르커시 줄러(틀:Llang)가 1894년 증명하였다.^[1]^[2]