판아우벌 정리

판아우벌 정리는 사각형에도 응용할 수 있다.

판아우벌 정리는 네덜란드 수학자 헨리퀴스 휘베르튀스 판아우벌(Henricus Hubertus van Aubel)의 이름이 붙은 정리이다.

공식화

판아우벌 정리

삼각형 ABC (△ABC)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을 $A_1$, $B_1$, $C_1$이라고 할 때 ($A_1\in \overline{BC}$, $B_1\in \overline{AC}$, $C_1\in \overline{AB}$)

다음과 같은 식이 성립하는데,

$\frac{AP}{P{A}_1}=\frac{A{C}_1}{C_{1}B}+\frac{A{B}_1}{B_{1}C}$

이를 판아우벌 정리라고 한다.

증명 Ⅰ

$P_{\mathrm{△}XYZ}$는 삼각형 $XYZ$의 면적을 뜻한다.

삼각형 $ABC$와 삼각형 $PBC$는 동일한 선분 $BC$를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서

$\frac{A{A}_1}{P{A}_1}=\frac{P_{\mathrm{△}ABC}}{P_{\mathrm{△}BCP}}$가 성립하는데

이것은

$\frac{AP}{P{A}_1}=\frac{P_{\mathrm{△}APC}+P_{\mathrm{△}APB}}{P_{\mathrm{△}BCP}}$을 내포한다.

또 삼각형 $AC{C}_1$과 삼각형 $BC{C}_1$을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 $C{C}_1$을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{P_{\mathrm{△}AC{C}_1}}{P_{\mathrm{△}BC{C}_1}}$가 성립한다.

위와 동일한 방법으로

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{P_{\mathrm{△}A{C}_{1}P}}{P_{\mathrm{△}B{C}_{1}P}}$을 얻을 수 있다.

따라서

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{P_{\mathrm{△}ACP}+P_{\mathrm{△}A{C}_{1}P}}{P_{\mathrm{△}BCP}+P_{\mathrm{△}B{C}_{1}P}}=\frac{P_{\mathrm{△}A{C}_{1}P}}{P_{\mathrm{△}B{C}_{1}P}}$

위 식을 정리하면,

(i)   $\frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{P_{\mathrm{△}ACP}}{P_{\mathrm{△}BCP}}$

이와 같은 방법으로 동일하게 구하면

(ii)  $\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{P_{\mathrm{△}APB}}{P_{\mathrm{△}BCP}}$

(i)식과 (ii)식을 각각 더하면

$\frac{A{B}_1}{B_{1}C}+\frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{P_{\mathrm{△}APC}+P_{\mathrm{△}APB}}{P_{\mathrm{△}BCP}}=\frac{AP}{P{A}_1}$

판아우벌 정리를 증명할 수 있다.

증명 Ⅱ

판아우벌 정리는 메넬라오스 정리와 체바 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

삼각형 $AB{A}_1$과 직선 $C{C}_1$에 대해서 메넬라오스 정리가 성립한다.

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{BC}{C{A}_1}\cdot \frac{A_{1}P}{PA}=1$

이 식을 변형하면,

$\frac{PA}{A_{1}P}=\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{BC}{C{A}_1}=\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{B{A}_1+C{A}_1}{C{A}_1}=\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot (\frac{B{A}_1}{C{A}_1}+\frac{C{A}_1}{C{A}_1})$

따라서,

(i) $\frac{PA}{A_{1}P}=\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{B{A}_1}{C{A}_1}+\frac{A{C}_1}{C_{1}B}$

삼각형 $ABC$에서 체바 정리가 성립한다.

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{B{A}_1}{A_{1}C}\cdot \frac{C{B}_1}{B_{1}A}=1$

따라서,

(ii) $\frac{B_{1}A}{C{B}_1}=\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{B{A}_1}{A_{1}C}$

(ii)식을 (i)식에 대입하면

$\frac{PA}{A_{1}P}=\frac{B_{1}A}{C{B}_1}+\frac{A{C}_1}{C_{1}B}$

증명 Ⅲ

틀:미완성 문단 판아우벌 정리는 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다.

같이 보기

• 다 빈치
• 피카소

외부 링크

• Van Aubel's Theorem: an interactive JavaSketch of the figure.
• 틀:매스월드
• Van Aubel's Theorem for Quadrilaterals and Van Aubel's Theorem for Triangles by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Van Aubel's Theorem and some generalizations at Dynamic Geometry Sketches