크리핑 유동

틀:위키데이터 속성 추적 크리핑 유동은 'Stokes 유동' 또는 '저 Reynolds 수 유동'이라고 부르기도 한다.

즉, 이러한 유동은 레이놀즈 수가 매우 작다(Re≪1).

다시말해, 레이놀즈 수의 정의, $R e = \frac{ρ V L}{μ}$ 로부터 $ρ, V, L$ 이 작거나 점성이 매우 큰 경우(또는 이러한 조건의 조합)가 이에 해당한다.

크리핑 유동의 예시

우리 주위 또는 우리 몸속에서 미생물의 주위 유동이 이에 대한 예시가 될 수 있다.

미생물은 일생을 크리핑 유동 영역에서만 살게 되는데, 이는 이들의 크기가 수 미크론( $1 μ m = 1 0^{- 6} m$ )으로 매우 작으며,

결코 점성이 크다고 볼 수 없는 공기나 물에서(상온에서 $μ_{a i r} ≅ 1.8 \times 1 0^{- 5} N \cdot s / m^{2}$ 와 $μ_{w a t e r} ≅ 1.0 \times 1 0^{- 3} N \cdot s / m^{2}$ ) 느리게 움직이기 때문이다.

그림에 나타난 박테리아의 몸길이는 고작 1m이며, 몸 뒤에 있는 길이가 수 미크론인 편모를 이용하여 몸을 움직인다.

이러한 운동에 대한 Reynolds 수는 1보다 훨씬 작다.

또한, 크리핑 유동은 윤활 베어링의 아주 작은 틈 사이의 윤활유 유동에서도 나타난다.

이 경우 속도는 그렇게 작지는 않지만 그 틈이 매우 작고(수십 미크론의 차수로), 점도도 비교적 크기 때문이다(상온에서 $μ \sim 1 N \cdot s / m^{2}$ ).

Navier-Stokes 방정식의 근사화

크리핑 유동에서 무차원화된 나비에 스토크스 방정식을 근사법을 통해 정의할 수 있다.

무차원화된 Navier-Stokes 방정식 : $[S t] \frac{\partial \vec{V^{*}}}{\partial t^{*}} + (\vec{V^{*}} \cdot \vec{\nabla^{*}}) \vec{V^{*}} = - [E u] \vec{\nabla^{*}} P^{*} + [\frac{1}{F r^{2}}] \vec{g^{*}} + [\frac{1}{R e}] \nabla^{* 2} \vec{V^{*}}$

먼저, 단순화를 위하여 중력효과는 무시하거나 오직 정수압 요소로 작용하는 경우를 가정한다.

또한 Strouhal 수의 크기가 1(St~1) 또는 그 이하로서, 비정상 가속도 항인 $[S t] \frac{\partial \vec{V^{*}}}{\partial t^{*}}$ 의 크기 차수가 점성항인 $[\frac{1}{R e}] \nabla^{* 2} \vec{V^{*}}$ 의 크기 차수보다 작으므로(Reynolds 수는 매우 작다) 정상 유동 또는 진동 유동 중의 하나로 가정한다.

무차원화된 방정식에서 대류항의 크기 차수는 1이기 때문에 $(\vec{V^{*}} \cdot \vec{\nabla^{*}}) \vec{V^{*}}$ ~ 1 또한 사라지게 된다.

그 결과 식 좌변의 모든 항을 무시할 수 있으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

크리핑 유동 근사화 : $[E u] \vec{\nabla^{*}} P^{*} ≅$ $[\frac{1}{R e}] \nabla^{* 2} \vec{V^{*}}$

다시 말하면, 유동에서의 압력(좌변) 은 우변의 상대적으로 큰 점성력과 균형을 이룰 정도로 커야 한다.

그러나, 근사화된 식의 무차원 변수의 차수가 1이기 때문에 두 항이 균형을 이룰 수 있는 유일한 방법은 Eu가 1/Re 와 같은 차수를 가질 때이다.

이를 식으로 나타내면 다음과 같다. $[E u] = \frac{P_{0} - P_{\infty}}{ρ V^{2}} \sim [\frac{1}{R e}] = \frac{μ}{ρ V L}$

위 식을 정리하면 다음이 얻어진다.

크리핑 유동에서의 압력의 크기 : $P_{0} - P_{\infty} \sim \frac{μ V}{L}$

이를 참조하여, 크리핑 유동에 대한 두 가지 사실을 도출하였다.

첫째로, 압력차의 척도가 $ρ V^{2}$ 와 같은(즉 Bernoulli 방정식) 관성이 지배적인 유동이 아니라,

크리핑 유동은 점성력이 지배적인 유동이기 때문에 압력차의 척도는 $\frac{μ V}{L}$ 와 같다.

이로써 Navier-Stokes 방정식의 모든 관성항은 크리핑 유동에서 사라진다.

두 번째로, 밀도는 Navier-Stokes 방정식에서 매개변수로서 완전 빠져버리게 된다.

이는 크리핑 유동장에서 근사화된 무차원식을 차원이 있는 형태로 나타내면 더욱 정확히 알 수 있다.

크리핑 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식의 근사화 : $\vec{\nabla} P ≅ μ \nabla^{2} \vec{V}$

밀도는 Reynolds 수를 계산하기 위해서 반드시 필요하지만, 크리핑 유동처럼 Re가 매우 작다고 가정하면 위의 식에 나타난 바와 같이 밀도는 더 이상 필요하지 않다.

또, 밀도는 정수압 계산에서는 필요하지만, 수직거리가 보통 수 밀리미터 혹은 수 마이크로미터이기 때문에 크리핑 유동에서 그 영향은 무시할 수 있다.

그 외에도 자유표면 효과가 없다면, 물리적인 압력 대신에 수정압력도 사용할 수 있다.