크룰 높이 정리

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 크룰 높이 정리(틀:Llang)는 뇌터 환에서 n개의 원소로 생성된 아이디얼의 높이가 n 이하라는 정리이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환 뇌터 환 $R$
• 자연수 $m,n\in \mathbb{N}$ 및 $0\le k\le \min \{m,n\}$
• 임의의 $R$ 성분의 $m\times n$ 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(m,n;R)$

그렇다면, $M$은 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$개의 $k\times k$ 소행렬식(틀:Llang)들을 갖는다. 크룰 높이 정리에 따르면, 이 소행렬식들로 생성되는 $R$-아이디얼이 $R$ 전체가 아니라면, 그 높이는 $(m-k+1)(n-k+1)$ 이하이다.

특히, $n=k=1$인 경우, $m$개의 원소로 생성되는 아이디얼 $(r_1,r_2,\dots ,r_m)\ne R$의 높이는 $n$ 이하이다.

$\mathrm{ht}(r_1,\dots ,r_n)\le \{0,1,\dots ,n\}((r_1,r_2,\dots ,r_m)\ne R)$

반대로, 높이가 $n$인 소 아이디얼은 $n$개의 원소로 생성될 수 있다.

특히, 크룰 높이 정리에서 $m=n=k=1$을 취하면, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하임을 알 수 있다.

$\mathrm{ht}(r)\in \{-\mathrm{\infty },0,1\}(r\in ̸R^{\times })$

크룰 정역의 경우

크룰 높이 정리는 크룰 정역에 대하여 부분적으로 성립한다. 구체적으로, 크룰 정역의 모든 진 아이디얼인 주 아이디얼의 높이는 0 또는 1이다. (그러나 뇌터 환이 아닌 크룰 정역의 경우, 이는 2개 이상의 원소로 생성되는 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

역사

볼프강 크룰이 1928년에 $m=n=k=1$인 경우를 증명하였다.

1961년에 존 얼론조 이건(틀:Llang)이 이를 소행렬식에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
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• 틀:웹 인용
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