코시 응집판정법

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 코시 응집판정법(-凝集判定法, 틀:Lang)은 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙은 무한급수의 수렴판정법이다. 음이 아닌 실수의 감소수열에 대한 급수

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+\cdots \cdots$

의 수렴성을, 2의 거듭제곱번째 항만으로 재구성한 급수

$a_1+a_2+a_2+a_4+a_4+a_4+a_4+\cdots \cdots$

의 수렴성으로 귀결시킨다.

내용

틀:수학이 실수열이고 임의의 자연수 틀:수학에 대해 틀:수학, 틀:수학일 때, ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴할 필요충분조건은 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$가 수렴하는 것이다.틀:Rp 더 나아가, 원래 급수의 합의 범위는 다음과 같이 추정된다.틀:Rp

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

극히 소수의 항만을 이용해 전체 급수의 수렴성을 판정하는 것이 이 판정법의 특징이다.

증명

부분합에 관한 부등식

$\sum _{n=1}^{2^{k+1}-1}{a}_n\le \sum _{n=0}^k{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{2^k}{a}_n$

을 증명하면, 두 급수는 부분합의 유계성이 같아 단조수렴정리에 의해 수렴성이 같다. 또 여기에 극한을 취하면 위에서의 범위 추정도 증명된다. 세 부분합을 전개하고, 아래와 같이 항을 괄호로 조금씩 묶어 전개식 하나당 틀:수학개의 묶음을 만들어서, 같은 위치의 묶음끼리 비교하면 (예를 들어 셋째 열에서, 틀:Mvar이 감소함에 따라 틀:수학 틀:수학 틀:수학) 부분합에 관한 부등식은 증명된다.

$\begin{array}{cccccccc}& a_1& +& (a_2+a_3)& +& (a_4+a_5+a_6+a_7)& +& \cdots \\ \le & a_1& +& (a_2+a_2)& +& (a_4+a_4+a_4+a_4)& +& \cdots \\ \le & (a_1+a_1)& +& (a_2+a_2)& +& (a_3+a_3+a_4+a_4)& +& \cdots \end{array}$

예

코시 응집판정법은 $n$이 분모에 있는 경우에 유용하다. 전형적인 예인 조화급수 ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$의 수렴 여부는 $\sum 1$가 발산함에 따라 쉽게 드러난다.

조금 더 복잡한 예로, 급수

$\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{p_0}(\ln n{)}^{p_1}(\ln \ln n{)}^{p_2}\cdots (\underset{k}{\underbrace{\ln \ln \cdots \ln }}n{)}^{p_k}}$

가 수렴할 필요충분조건은 1이 아닌 지수가 있고 처음으로 오는 1이 아닌 지수가 1보다 크다는 것이다. 즉 급수는 사전식 순서대로 틀:수학일 때 수렴, 틀:수학일 때 발산한다.

외부 링크

• 틀:SpringerEOM