카스틸리아노의 정리

틀:위키데이터 속성 추적 카스틸리아노의 정리(Castigliano's theorems)는 중첩의 원리가 적용되는 선형탄성계에서 변형에너지로부터 변위나 하중을 구하는 방법을 제공하는 정리로, 이탈리아의 수학자이자 물리학자인 카를로 알베르토 카스틸리아노로부터 그 이름이 붙여졌다. 카스틸리아노의 정리를 이용해 변위나 하중을 구하는 방법을 카스틸리아노의 방법이라고도 한다.

카스틸리아노의 정리에는 두 가지가 있다.

카스틸리아노의 제1정리

“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 변위 $δ_{i}$ 의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 변위에 대해 편미분한 값은 하중 $P_{i}$ 와 같다.”

즉, 변형에너지를 $U$ 라고 하면,

P_{i} = \frac{\partial U}{\partial δ_{i}} (i = 1, 2, 3, . . ., n)

“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 하중 $P_{i}$ 의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값은 변위 $δ_{i}$ 와 같다.”

δ_{i} = \frac{\partial U}{\partial P_{i}} (i = 1, 2, 3, . . ., n)

길이가 L, 휨강성이 EI인 외팔보의 자유단에 연직 중력방향으로 하중 $P_{1}$ 만이 작용할 때, 하중 작용점에서의 처짐 $δ_{1}$ 을 구하기 위해 구조물의 변형에너지를 하중 $P_{1}$ 의 함수로 나타내면 다음과 같다. 단, 휨 변형만을 고려한 것이다.

U = \frac{1}{2 E I} \int_{0}^{L} {(- P_{1} x)}^{2} d x = \frac{P_{1}^{2} L^{3}}{6 E I}

카스틸리아노의 제2정리에 의해

δ_{1} = \frac{\partial U}{\partial P_{1}} = \frac{P_{1} L^{3}}{3 E I}

카스틸리아노의 정리는 구조물 지점의 침하나 온도 변화 등에 따른 처짐의 계산에는 사용될 수 없다.