카소라티-바이어슈트라스 정리

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 카소라티-바이어슈트라스 정리(-定理, 틀:Llang)는 주어진 함수의 본질적 특이점 주위에서의 성질을 다루는 정리이다. 피카르의 대정리는 이 정리의 결론을 강화한다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$ 및 점 $z_0\in D$가 주어졌고, 정칙 함수 $f:D\setminus \{z_0\}\to ℂ$가 $z_0$을 본질적 특이점으로 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 근방 $z_0\in U\subseteq D$에 대하여, $f(U\setminus \{z_0\})$는 $\widehat{ℂ}$의 조밀 집합이다.

증명

귀류법을 사용하여, $f(U\setminus \{z_0\})$가 $\widehat{ℂ}$의 조밀 집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면, $w_0\in \widehat{ℂ}\setminus \mathrm{cl}f(U\setminus \{z_0\})$가 존재한다. 편의상 $w_0\ne \hat{\mathrm{\infty }}$라고 하자. 그렇다면,

$\mathrm{B}(w_0,ϵ)\subseteq ℂ\setminus f(U\setminus \{z_0\})$

인 $ϵ>0$이 존재한다. 다음과 같은 함수 $g:U\setminus \{z_0\}\to ℂ$를 정의하자.

$g(z)=\frac{1}{f(z)-w_0}\mathrm{\forall }z\in U\setminus \{z_0\}$

그렇다면, 임의의 $z\in U\setminus \{z_0\}$에 대하여,

$|g(z)|\le \frac{1}{ϵ}$

이므로, $g$는 유계 함수이다. 또한, $g$는 정칙 함수이므로, $z_0$은 $g$의 제거 가능 특이점이다. 따라서, $z_0$은

$f=w_0+\frac{1}{g}$

의 제거 가능 특이점이거나, 극점이다. 이는 모순이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드