최대 사후 확률

틀:위키데이터 속성 추적 최대 사후 확률(最大事後確率, maximum a posteriori, MAP)은 베이즈 통계학에서 사후 확률(事後確率)의 최빈값을 가리킨다. 최대 사후 확률에 대응하는 모수(母數, Parameter)는 최대우도(最大尤度, maximum likelihood estimation, MLE)와 마찬가지로 모수의 점 추정으로 사용할 수 있지만, 최대우도에서는 어떤 사건이 일어날 확률을 가장 높이는 모수를 찾는 것에 비해, 최대 사후 확률 모수는 모수의 사전 확률(事前確率)과 결합된 확률을 고려한다는 점이 다르다.

방식

어떤 모수 $\theta$의 사전 확률 분포가 $p(\theta )$로 주어져 있고, 그 모수에 기반한 조건부 확률분포 $f(x|\theta )$와 그 분포에서 수집된 값 $x$가 주어져 있다. 이때 모수의 사후 확률분포는 베이즈 정리에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.

$p(\theta |x)=\frac{f(x|\theta )p(\theta )}{\int f(x|{\theta }^{\prime })p({\theta }^{\prime })d{\theta }^{\prime }}$

여기에서 $x$가 주어져 있기 때문에 분모는 $\theta$에 대해 상수가 된다. 여기에서 최대 사후 확률 모수는 다음과 같이 정의된다.

${\hat{\theta }}_{\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{P}}:=\underset{\theta }{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{f(x|\theta )p(\theta )}{\int f(x|{\theta }^{\prime })p({\theta }^{\prime })d{\theta }^{\prime }}=\underset{\theta }{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x|\theta )p(\theta )$

최대우도의 정의 ${\hat{\theta }}_{\mathrm{M}\mathrm{L}}:=\underset{\theta }{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x|\theta )$와 비교해보면, 최대 사후 확률은 사전 확률 $p(\theta )$가 추가되었다는 것을 볼 수 있다.