종순 바나흐 대수

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 종순 바나흐 대수(從順Banach代數, 틀:Llang)는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명군인 바나흐 대수이다. 종순 폰 노이만 대수들은 완전히 분류되었으며, 상당량의 종순 C* 대수의 분류 역시 완결되었다.

정의

바나흐 쌍가군

두 복소수 바나흐 대수 $A$, $B$ 위의 바나흐 쌍가군 ${}_A{M}_B$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $(A,B)$-쌍가군 ${}_A{M}_B$
• $M$ 위의 복소수 바나흐 공간 구조 $(M,\Vert \Vert )$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$\underset{a\in A\setminus \{0\},m\in M\setminus \{0\}}{\sup }\Vert am\Vert /(\Vert a\Vert \Vert m\Vert )<\mathrm{\infty }$

$\underset{b\in B\setminus \{0\},m\in M\setminus \{0\}}{\sup }\Vert mb\Vert /(\Vert m\Vert \Vert b\Vert )<\mathrm{\infty }$

이 경우, 연속 쌍대 공간 $M^{*}$은 자연스럽게 $(B,A)$-바나흐 쌍가군을 이룬다.

유계 미분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 바나흐 대수 $A$
• $(A,A)$-바나흐 쌍가군 ${}_A{M}_A$

$M$값의 유계 미분(틀:Llang)은 다음 두 조건을 만족시키는 복소수 선형 변환

$\partial :A\to M$

이다.

• $\partial$은 미분이다. 즉, 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $\partial (ab)=(\partial a)b+a\partial b$이다.
• 유계 작용소이다.

종순 바나흐 대수

복소수 바나흐 대수 $A$가 다음 조건을 만족시킨다면, 종순 바나흐 대수라고 한다.

• 임의의 $(A,A)$-바나흐 쌍가군 ${}_A{M}_A$ 및 유계 미분 $\partial :A\to M^{*}$에 대하여, $\partial =[-,\varphi ]$가 되는 $\varphi \in M^{*}$가 존재한다. (여기서 $M^{*}$는 $M$의 연속 쌍대 공간이다.)

여기서, 유계 미분들의 군은 1차 유계 호흐실트 순환들의 군으로, $[-,\varphi ]$ 꼴의 유계 미분들의 군은 1차 완전 호흐실트 순환들의 군으로 생각할 수 있다. 즉, 종순 바나흐 대수의 정의는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건이다.

만약 위 조건을 $M=A$인 경우에만 성립하게 약화시키면, 약종순 바나흐 대수(弱從順, 틀:Llang)의 개념을 얻는다.

성질

폰 노이만 대수 $A$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 종순 바나흐 대수이다.
• (초유한성 틀:Llang) 부분 폰 노이만 대수들의 증가하는 열 $A_0\subseteq A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots \subseteq A$가 존재하여, 각 $A_i$들은 모두 유한 차원 폰 노이만 대수이며, ${\bigcup }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$는 $A$의 (노름 거리 위상에서의) 조밀 집합을 이룬다.

종순 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수(틀:Llang) 또는 초유한 폰 노이만 대수(틀:Llang)라고도 불린다.

C* 대수 $A$의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 종순 바나흐 대수이다.
• $A$로 생성되는 폰 노이만 대수는 종순 바나흐 대수이다.

종순 C* 대수는 핵 C* 대수(틀:Llang)라고도 불린다.

모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.틀:Rp

예

모든 가환 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.틀:Rp 모든 유한 차원 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.틀:Rp

역사

종순 바나흐 대수의 개념은 1972년에 도입되었다. 이후 알랭 콘이 폰 노이만 대수의 경우 종순성이 초유한성 등 여러 다양한 조건들과 동치임을 증명하였다.

각주

• 틀:서적 인용틀:깨진 링크
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab