제르맹 항등식

틀:위키데이터 속성 추적 소피 제르맹 항등식(틀:Llang)은 프랑스의 수학자인 소피 제르맹이 제출한 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다:

• $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$

이것은 인수 분해 공식의 일종인데, 몇몇 특수한 대수적 문제들(특히 정수론에서)의 기교적인 해결에 이용된다.

활용 예

이 항등식 활용의 기본적인 예제로서, 다음 명제를 증명해 보자:

• 명제 : $n>1$인 경우, $n^4+4^n$은 항상 합성수이다.
• 증명 : n이 짝수일 경우 위 식은 2의 배수가 되기 때문에 자명히 소수가 아니므로 n을 홀수($n=2m+1$)라고 가정하자. (단, m은 음이 아닌 정수)그러면 제르맹 항등식에 의해서,

$n^4+4^n=n^4+4(4^{2m})=(n^2-2n{2}^m+2(4^m))(n^2+2n{2}^m+2(4^m))$로 분해되므로, 증명이 끝난다.

참고 문헌

• Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, 2000