제곱근 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 행렬의 제곱근(Square root of a matrix) 또는 제곱근 행렬은 제곱근이라는 개념을 수의 체계에서 행렬로 확장한 것이다.

행렬 곱 B B 가 A와 같으면 행렬 B는 A의 제곱근이라고한다.

성질

일반적으로 임의의 한 행렬은 여러 개의 제곱근을 가질 수 있다. 예를 들어, 행렬$\left(\begin{array}{cc}33& 24\\ 48& 57\end{array}\right)$은 $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 8& 5\end{array}\right)$과$\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& 7\end{array}\right)$ 제곱근이있다. 또한 그들의 부가적인 반전을 포함한다.

$\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& 7\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& 7\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}(5\cdot 5+2\cdot 4)& (5\cdot 2+2\cdot 7)\\ (4\cdot 5+7\cdot 4)& (4\cdot 2+7\cdot 7)\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}(25+8)& (10+14)\\ (20+28)& (8+49)\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{cc}(33)& (24)\\ (48)& (57)\end{array}\right)$

예

2×2 단위 행렬 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$에서처럼 대칭의 제곱근 행렬들도 포함하게 되므로 제곱근 행렬의 수는 보다 더 많아 진다.

$\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}s& r\\ r& -s\end{array}\right),\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}s& -r\\ -r& -s\end{array}\right),\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}-s& r\\ r& s\end{array}\right),\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}-s& -r\\ -r& s\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \pm 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& \pm 1\end{array}\right)$

$(r,s,t)$는 피타고라스 정리에 등장하는 등식 $r^2+s^2=t^2$을 만족시키는 세 양의 정수 튜플이다.

같이 보기

• 피타고라스 삼조
• 부호 행렬