정사각형 안에 원 채우기

틀:위키데이터 속성 추적 정사각형 안에 원 채우기는 유희 수학의 채우기 문제이다. 목표는 단위원 n개를 가장 작은 정사각형에 채우는 것, 또는 n개의 점을 단위 정사각형에 최소거리 d_n가 최대가 되도록하는 것이다. 이 두 문제를 변환하려면 단위 원이 있는 정사각형의 한 변의 길이는 $L=2+\frac{2}{d_n}$이 된다.

해(반드시 최적은 아님)는 N≤10,000에 대해서 모두 계산되었다. N=20 까지의 해를 아래에 나타냈다.:

원의  개수 (n)	정사각형 크기(한 변의 길이(L))	dn	개수 밀도(n/L^2)	그림
1	2	∞	0.25
2	$2+\sqrt{2}$ ≈ 3.414...	$\sqrt{2}$ ≈ 1.414...	0.172...
3	$2+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 3.931...	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ ≈ 1.035...	0.194...
4	4	1	0.25
5	$2+2\sqrt{2}$ ≈ 4.828...	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$ ≈ 0.707...	0.215...
6	$2+\frac{12}{\sqrt{13}}$ ≈ 5.328...	$\frac{1}{6}\sqrt{13}$ ≈ 0.601...	0.211...
7	$4+\sqrt{3}$ ≈ 5.732...	$4-2\sqrt{3}$ ≈ 0.536...	0.213...
8	$2+\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ≈ 5.863...	$\frac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ ≈ 0.518...	0.233...
9	6	0.5	0.25
10	6.747...	0.421...	0.220...
11	7.022...	0.398...	0.223...
12	$2+15\sqrt{\frac{2}{17}}$ ≈ 7.144...	0.389...	0.235...
13	7.463...	0.366...	0.233...
14	$6+\sqrt{3}$ ≈ 7.732...	0.348...	0.226...
15	$4+\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ≈ 7.863...	0.341...	0.243...
16	8	0.333...	0.25
17	8.532...	0.306...	0.234...
18	$2+\frac{24}{\sqrt{13}}$ ≈ 8.656...	0.300...	0.240...
19	8.907...	0.290...	0.240...
20	$\frac{130}{17}+\frac{16}{17}\sqrt{2}$ ≈ 8.978...	0.287...	0.248...