자기쌍대군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 자기쌍대군(自己雙對群, 틀:Llang)은 모든 부분군이 어떤 몫군과 동형이며, 마찬가지로 모든 몫군이 어떤 부분군과 동형인 군이다.

정의

군 $G$가 다음 조건을 만족시키면 s-자기쌍대군(틀:Llang)이라고 한다.

• (부분군이 몫군과 동형) 임의의 $H\le G$에 대하여, $H\cong G/N$인 $N⊲G$가 존재한다.

군 $G$가 다음 조건을 만족시키면 q-자기쌍대군(틀:Llang)이라고 한다.

• (몫군이 부분군과 동형) 임의의 $N⊲G$에 대하여, $H\cong G/N$인 $H\le G$가 존재한다.

s-자기쌍대군인 q-자기쌍대군을 자기쌍대군이라고 한다. 즉, 자기쌍대군은 부분군의 동형류의 집합과 몫군의 동형류의 집합이 일치하는 군이다.

성질

모든 s-자기쌍대군은 멱영군이다. s-자기쌍대군의 부분군은 s-자기쌍대군이다. 자기쌍대 아벨 군의 꼬임 부분군은 자명하지 않다.

예

모든 유한 아벨 군은 자기쌍대군이다.

분류

자기쌍대군은 매우 제한적인 형태를 취한다. 특수한 종류의 자기쌍대군의 구조 정리로는 다음이 있다.

유한 자기쌍대군

모든 유한 자기쌍대군 $G$는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.틀:Rp틀:Rp

$G=\prod _p{S}_p$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $p=2$인 경우, $S_p$는 아벨 p-군이다.
• $p>2$인 경우, $S_p$는 아벨 p-군이거나, $S_p=((\mathbb{Z}/p{)}^{\times 2}⋊\mathbb{Z}/p)\times (\mathbb{Z}/p{)}^{\times n_p}$이다.

모든 유한 s-자기쌍대군 $G$는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.틀:Rp틀:Rp

$G=\prod _p{S}_p$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $p=2$인 경우, $S_p$는 아벨 p-군이거나, 표시 $⟨a,b|a^{p^{m_p}}=b^{p^{m_p}}=1,ab=b{a}^{p^{m_p-1}+1}⟩$를 갖는 군과 지수 $p^{m_p}$ 미만의 아벨 p-군의 직접곱이다.
• $p>2$인 경우, $S_p$는 아벨 p-군이거나, 표시 $⟨a,b|a^{p^{m_p}}=b^{p^{m_p}}=1,ab=b{a}^{p^{m_p-1}+1}⟩$를 갖는 군과 지수 $p^{m_p}$ 미만의 아벨 p-군의 직접곱이거나, $S_p=((\mathbb{Z}/p{)}^{\times 2}⋊\mathbb{Z}/p)\times (\mathbb{Z}/p{)}^{\times n_p}$이다.

가산 아벨 자기쌍대군

계수가 0인 가산 아벨 자기쌍대군 $G$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.틀:Rp

$G=\underset{p}{⨁}{S}_p$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $S_p$는 다음 두 형태 가운데 하나다.
  • $S_p={⨁}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{Z}/p^{n_{p,i}}$ ($0\le n_{p,i}\le n_p$)
  • $S_p=\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }}{)}^{\oplus {\mathrm{\aleph }}_0}\oplus B_p$. 여기서 $\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})$는 프뤼퍼 군이며, $B_p$는 $\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})$를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.

0이 아닌 유한 계수의 가산 아벨 자기쌍대군 $G$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.틀:Rp

$G={\mathbb{Z}}^{\oplus n}\oplus \underset{p}{⨁}(\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }}{)}^{\oplus {\mathrm{\aleph }}_0}\oplus B_p)$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $B_p$는 $\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})$를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.

계수가 무한한 가산 아벨 자기쌍대군 $G$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.틀:Rp

$G=U\oplus (\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Q}\oplus \mathbb{Z}{)}^{\oplus {\mathrm{\aleph }}_0}$

여기서 $U$는 임의의 가산 아벨 군이다.