유사군

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틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학과 범주론에서 유사군(類似群, 틀:Llang)은 왼쪽 나눗셈과 오른쪽 나눗셈을 정의할 수 있는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 군의 개념의 일반화이다.

정의

이항 연산의 성질을 통한 정의

다음과 같은 데이터로 구성되는 튜플 (Q,⋅)를 생각하자.

  • 집합 Q
  • 이항 연산 ⋅:Q×Q→Q. 이를 곱셈이라고 한다.

(Q,⋅)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 (Q,⋅)를 왼쪽 유사군(틀:Llang)이라고 한다.

  • (왼쪽 나눗셈) 임의의 p,q∈Q에 대하여, p⋅x=q인 유일한 x∈Q가 존재한다.
  • (왼쪽 작용은 순열) 임의의 p∈Q에 대하여, p⋅∈Sym⁡(Q)

마찬가지로, (Q,⋅)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 (Q,⋅)를 오른쪽 유사군(틀:Llang)이라고 한다.

  • (오른쪽 나눗셈) 임의의 p,q∈Q에 대하여, y⋅p=q인 유일한 y∈Q가 존재한다.
  • (오른쪽 작용은 순열) 임의의 p∈Q에 대하여, ⋅p∈Sym⁡(Q)

왼쪽 유사군이자 오른쪽 유사군인 (Q,⋅)를 유사군이라고 한다.

나눗셈을 통한 정의

왼쪽 유사군 (Q,⋅,∖)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 집합 Q
  • 이항 연산 ⋅:Q×Q→Q. 이를 곱셈이라고 한다.
  • 이항 연산 ∖:Q×Q→Q. 이를 왼쪽 나눗셈이라고 한다.

이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 p,q∈Q에 대하여, p⋅(p∖q)=p∖(p⋅q)=q

오른쪽 유사군 (Q,⋅,/)는 왼쪽 유사군의 반대 구조이다. 즉, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 집합 Q
  • 이항 연산 ⋅:Q×Q→Q. 이를 곱셈이라고 한다.
  • 이항 연산 /:Q×Q→Q. 이를 오른쪽 나눗셈이라고 한다.

이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 p,q∈Q에 대하여, (p/q)⋅q=(p⋅q)/q=p

왼쪽 유사군과 오른쪽 유사군의 구조를 동시에 갖춘 (Q,⋅,∖,/)를 유사군이라고 한다.

고리

고리(틀:Llang)는 곱셈 항등원을 갖춘 유사군이다.

예

유한 유사군

틀:본문 유한 유사군은 라틴 방진과 동치이다.

같이 보기

외부 링크

틀:전거 통제

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