유동 함수

분류

유체역학(Fluid_Mechanics)

요약

'유동함수 ($\mathrm{\Psi }$, Stream Function)'는 유량함수라고도 하며, 두 점 사이에 흐르는 유량은 '두점에서의 유동함수 차(${\mathrm{\Psi }}_2-{\mathrm{\Psi }}_1$)'로 정의된다.

다시 말하면, 유동함수는 함수 그 자체로서 의미를 지닌다기 보다, 유동 함수로부터 여러 개념들을 정의할 수 있다는 점이 핵심이다.

2차원 유동함수

비압축성 유체, 2차원 $xy$ 좌표계에서 질량 보존 법칙 미분방정식

즉, 연속방정식을 정의하면 아래와 같다.

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$

적절한 변수변환법을 사용하면, 두 개의 종속변수($u$와 $v$) 대신 한 개의 종속변수($\mathrm{\Psi }$)로 위의 연속방정식을 정의할 수 있게 된다.

$u=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}$ , $v=-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}$

위의 식을 첫번째 연속방정식에 대입하면 아래와 같게 된다.

$\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y})+\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x})=\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial y\partial x}=0$

$u$ 대신 $v$에 음 부호를 부여하는 이유는, $\mathrm{\Psi }$가 $y$방향으로 증가함에 따라 유동이 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르도록 하기 위함이며 유동함수의 부호를 반대로 지정하여도, 유체 유동에 있어서 연속 방정식은 항상 성립한다.

위와 같은 증명을 통해 $\mathrm{\Psi }$를 알면 유동하는 유체의 $xy$축 속도 성분 $u$와 $v$를 구할 수 있으며, 이들 해 또한 연속 방정식을 만족하게 된다.

유선

또한, 유동함수는 다음과 같은 유용한 물리적 중요성을 가진다.

먼저, 옆 그림에 나와있는 유선(Stream Line)을 따라 다음과 같은 유선의 방정식이 정의된다.

$\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}\Rightarrow$ $-vdx+udy=0$

위의 방정식에 $\mathrm{\Psi }$에 대한 정의를 사용하면 아래와 같은 식을 얻는다.

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}dy=0$

$x,y$ 두 변수의 함수인 유동함수($\mathrm{\Psi }$)에 대하여 한 점($x,y$)에서 미소 거리만큼 떨어진 다른 점 ($x+dx,y+dy$)까지 사이의 총$\mathrm{\Psi }$ 변화량($d\mathrm{\Psi }$)은 수학적 연쇄법칙(chain rule)을 적용하여 다음과 같이 도출된다.

$d\mathrm{\Psi }=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}dy$

위와 아래의 정의식을 비교하여 보면, 유선을 따라서 $d\mathrm{\Psi }=0$ 이라는 것을 알 수 있다.

그러므로 유선을 따라서 유동함수($\mathrm{\Psi }$)는 일정하고, 식 $d\mathrm{\Psi }=0$ 를 적분하면 $\mathrm{\Psi }$자체는, '유동장의 유선'이라는 결론에 도달하게 된다.

유량

유동함수에 대해 물리적으로 또 다른 중요한 특성이 있다.

'한 유선에서 다른 유선까지 유동함수 값의 차이는 두 유선 사이의 단위 폭당 체적유량과 같다(${\mathrm{\Psi }}_2-{\mathrm{\Psi }}_1$)'는 것이 바로 그 특성이다.

이 서술에 대한 설명은 옆의 그림과 함께 두 유선 ${\mathrm{\Psi }}_1$과 ${\mathrm{\Psi }}_2$, 그리고 지면 속으로 단위 폭을 가지는 $xy$평면상의 2차원 유동을 고려해보자. 정의에 의하면, 어떤 유동도 유선을 가로지를 수 없다. 따라서 두 유선사이의 공간을 차지하는 유체는 항상 같은 두 유선 사이에 한정되어 흐른다. 이는 두 유선 사이의 임의의 단면을 통과하는 질량유량은 어떤 순간에도 같다는 것을 의미한다. 여기서 단면은 유선1에서 시작해서 유선2에서 끝나기만 하면, 어떤 형상이어도 좋다. 옆 그림의 내용을 예를 들면, 단면 A는 원호 모양이지만, 단면B는 물결 모양을 가진다. $xy$평면에서의 정상상태, 비압축성, 2차원 유동에 대하여 두 유선 사이의 체적유량 $\dot{V}$(단위 폭당)은 일정해야 한다. 그러므로 만약 두 유선이 단면 A에서 단면 B까지의 구간으로 벌어진다면, 두 유선 사이 평균속도는 체적유량이 같게 유지되도록(${\dot{V}}_B-{\dot{V}}_A$) 감소할 것이다.

참조문헌

Cengel, C. (2021). Differential analysis of fluid flow. McGrawHill, Fluid Mechanics. Hanti-Media