워드-다카하시 항등식

틀:위키데이터 속성 추적 틀:양자장론 양자장론에서 워드-다카하시 항등식(틀:Lang)은 뇌터 정리를 일반화한 항등식이다.

역사

존 클라이브 워드(틀:Lang)가 1950년에 특수한 형태를 발표하였다. 다카하시 야스시(틀:Ruby-ja)가 이를 일반화하였다.

정의

주어진 양자장론이 어떤 전역적(틀:Lang) 대칭 ${\delta }_{ϵ}$을 가진다고 하자. 즉,

${\delta }_{ϵ}[D\varphi \exp (iS[\varphi ])]=0$

이라고 하자. 여기서 $D\varphi$는 경로 적분의 측도이고, $\exp (iS)$는 경로 적분의 볼츠만 인자이고, $X$는 주어진 연산자이다. 이제, $ϵ$을 상수가 아니라 (무한소의) 함수 $ϵ(x)$로 놓자. 그렇다면 $D\varphi \exp (iS)$의 변분은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.

${\delta }_{ϵ}[D\varphi \exp (iS[\varphi ])]=D{\varphi }^{\prime }\exp (iS[{\varphi }^{\prime }])i\int J^{\mu }{\partial }_{\mu }ϵd^{D}x=-D{\varphi }^{\prime }\exp (iS[{\varphi }^{\prime }])i\int (\partial \cdot J)ϵd^{D}x$.

뿐만 아니라, 임의의 연산자 $X$를 삽입하면 다음과 같다.

${\delta }_{ϵ}[D\varphi X[\varphi ]\exp (iS[\varphi ])]=-D{\varphi }^{\prime }X[{\varphi }^{\prime }]\exp (iS[{\varphi }^{\prime }])\int (\partial \cdot J)ϵd^{D}x+D\varphi ({\delta }_{ϵ}X)\exp (iS[\varphi ])$.

이제 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.

$0=\int X[{\varphi }^{\prime }]\exp (iS[{\varphi }^{\prime }])D{\varphi }^{\prime }-\int X[\varphi ]\exp (iS[\varphi ])D\varphi$

$=\int {\delta }_{ϵ}[X[\varphi ]\exp (iS[\varphi ])D\varphi ]$

$=⟨{\delta }_{ϵ}X{⟩}_0-i\int ⟨(\partial \cdot J)X{⟩}_0ϵd^{D}x$.

여기서 $⟨\cdots {⟩}_0$은 시간 순서 진공 기댓값이다. 이를 워드-다카하시 항등식이라고 한다.

워드-다카하시 항등식을 비가환 게이지 대칭에 대하여 일반화할 수 있다. 이를 슬라브노프-테일러 항등식(틀:Lang)이라고 한다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:언어링크 틀:웹 인용