야코비 삼중곱

틀:위키데이터 속성 추적 야코비 삼중곱(Jacobi triple product)은 수학자 야코비가 발견한 수학 공식으로, 내용은 아래와 같다.

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}{z}^{-1})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}{z}^n$

$\text{※ }q,z\text{는 복소수 , }q<1,z\ne 0$

증명

1. 제시된 곱셈 $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}{z}^{-1})$은 아래와 같이 무한급수로 바꿀 수 있다.

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(q)z^n$

$=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}{z}^{-1})$

$=\frac{1+qz}{1+q^{-1}{z}^{-1}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n+1}z)(1+q^{2n-3}{z}^{-1})$

$=\frac{qz(1+qz)}{qz+1}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n-1}{q}^{2}z)(1+q^{2n-1}{q}^{-2}{z}^{-1})$

$=qz\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(q)(q^{2}z{)}^n$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(q)q^{2n+1}{z}^{n+1}$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n-1}(q)q^{2n-1}{z}^n$

양변 계수 비교:

$a_n(q)=a_{n-1}(q)q^{2n-1}\stackrel{\text{점화}}{=}{a}_0(q)q^{n^2}$

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}{z}^{-1})=a_0(q)\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}{z}^n$

2. 이번에는 주어진 곱셈을 직접 까보면 아래와 같이 풀리고

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n-1}z)$

$=1+z\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2n-1}+z^2\sum _{\begin{array}{c}{n}_1=1\\ n_2=n_1+1\end{array}}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2(n_1+n_2)-2}+z^3\sum _{\begin{array}{c}{n}_1=1\\ n_2=n_1+1\\ n_3=n_2+1\end{array}}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2(n_1+n_2+n_3)-3}+...$

$=1+z\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2n-1}+z^2\sum _{\begin{array}{c}{n}_1=1\\ {n_2}^{\prime }=1\end{array}}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2(2n_1+{n_2}^{\prime })-2}+z^3\sum _{\begin{array}{c}{n}_1=1\\ {n_2}^{\prime }=1\\ {n_3}^{\prime }=1\end{array}}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2(3n_1+2{n_2}^{\prime }+{n_3}^{\prime })-3}+...$

$=1+z\frac{q}{1-q^2}+z^2\frac{q^4}{(1-q^2)(1-q^4)}+z^3\frac{q^9}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}+...$

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n-1}z)$ 역시 위 과정에서 z만 1/z로 바꾸면 되며, 이 식들을 1번식에 대입한 뒤 z랑 1/z가 서로 상쇄되는 항을 추려 양변을 비교하면 아래와 같다.

$a_0(q)=1+\frac{q^2}{(1-q^2{)}^2}+\frac{q^8}{(1-q^2{)}^2(1-q^4{)}^2}+\frac{q^{18}}{(1-q^2{)}^2(1-q^4{)}^2(1-q^6{)}^2}+...$

3. 2번식 양변에 $(1-q^2)$를 곱하면

$a_0(q)(1-q^2)=1-q^2+\frac{q^2}{1-q^2}+\frac{q^8}{(1-q^2)(1-q^4{)}^2}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4{)}^2(1-q^6{)}^2}+...$

$=1+\frac{q^4}{1-q^2}+\frac{q^8}{(1-q^2)(1-q^4{)}^2}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4{)}^2(1-q^6{)}^2}+...$

이 되고, 여기에 $(1-q^4)$를 더 곱하면

$a_0(q)(1-q^2)(1-q^4)=1-q^4+\frac{q^4-q^8}{1-q^2}+\frac{q^8}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6{)}^2}+...$

$=1+\frac{q^6}{1-q^2}+\frac{q^{12}}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6{)}^2}+...$

, $(1-q^6)$를 더 곱하면

$a_0(q)(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)=1-q^6+\frac{q^6-q^{12}}{1-q^2}+\frac{q^{12}-q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}+...$

$=1+\frac{q^8}{1-q^2}+\frac{q^{16}}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{24}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}+...$

으로 나타나는 것을 보아하니 다음 차례 계산에 대해서도 아래와 같이 예상할 수 있다.

$a_0(q)\prod _{n=1}^N(1-q^{2n})=\sum _{n=1}^{N-1}\frac{q^{2Nn}}{\prod _{k=1}^n(1-q^{2k})}+\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2n^2}}{\prod _{k=1}^{N-1}(1-q^{2k})\times \prod _{k=N}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2k}{)}^2}$

이 식 양변에 $(1-q^{2N})$을 곱하고 계산한 뒤 양변을 비교하면 수학적 귀납법에 따라 참임을 알 수 있으며, N을 무한으로 놓으면 q(<1)에 대한 항은 최소 2N차임에 따라 0이 되므로

$a_0(q)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2n})=1$이 된다.