아인슈타인 반경

틀:위키데이터 속성 추적 아인슈타인 반경(Einstein radius)은 아인슈타인 고리의 반경이다. 중력렌즈를 일반화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 개념이다.

이하 유도에서 우리는 렌즈 역할을 하는 천체 $L$의 모든 질량 $M$이 은하 중심에 한 점으로 집중되어 있다고 가정한다.

광원 은하의 실제 위치와 천구상에서의 위치 사이의 각거리 $\alpha$는 그 크기가 매우 작으며, $\alpha$는 다음과 같이 나타낼 수 있다(슈바르츠실트 계량 참조).

$\alpha =\frac{4G}{c^2}\frac{M}{b}$

이때

$b$는 충돌경수(광원의 빛이 지나가는 경로 중 렌즈 질량중심에서 가장 가까운 지점까지의 거리)

$G$는 중력상수

$c$는 광속이다.

위 그림의 모든 각도들이 매우 작고 단위가 라디안일 때 렌즈 역할을 하는 천체까지의 거리 $D_{\mathrm{L}}$과 천구상에서 렌즈 역할을 하는 천체와 광원 천체 사이의 겉보기 각거리 ${\theta }_1$은 다음 관계를 갖는다.

$b={\theta }_1{D}_{\mathrm{L}}$

그리고 $\alpha$를 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

$\alpha ({\theta }_1)=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{1}{D_{\mathrm{L}}}$ (식 1)

렌즈 역할 천체와 광원 천체의 실제 위치 사이의 각거리를 ${\theta }_{\mathrm{S}}$로 잡으면

${\theta }_1{D}_{\mathrm{S}}={\theta }_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{S}}+\alpha D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}$

이것을 다시 쓰면

$\alpha ({\theta }_1)=\frac{D_{\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}({\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}})$ (식 2)

(식 1)과 (식 2)가 같다고 한 뒤 식을 정리하면

${\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}}=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{L}}}$

렌즈 너머의 광원이 관찰자-렌즈와 일직선상에 있을 때, 즉 ${\theta }_{\mathrm{S}}=0$일 때 ${\theta }_1$ 값을 아인슈타인 반경이라고 하며, 기호는 ${\theta }_{\mathrm{E}}$이다. 위 식에 ${\theta }_{\mathrm{S}}=0$을 대입하여 ${\theta }_1$에 대하여 풀면

${\theta }_E={\left(\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}}{D}_{\mathrm{S}}}\right)}^{1/2}$

${\theta }_{\mathrm{S}}\ne 0$ → ${\theta }_{\mathrm{S}}=0$ → ${\theta }_{\mathrm{S}}\ne 0$ 순서로 변화한다.

결국

${\theta }_1={\theta }_{\mathrm{S}}+\frac{{\theta }_E^2}{{\theta }_1}$

이므로 이것을 ${\theta }_1$에 대한 2차방정식 ${{\theta }_1}^2-{\theta }_{\mathrm{S}}{\theta }_1-{\theta }_E^2=0$으로 생각하면

${{\theta }_1}_{\pm }=\frac{{\theta }_{\mathrm{S}}\pm \sqrt{{{\theta }_{\mathrm{S}}}^2+4{\theta }_{\mathrm{E}}}}{2}$

${\theta }_{\mathrm{S}}=0$이면 ${{\theta }_1}_{+}={{\theta }_1}_{-}={\theta }_{\mathrm{E}}$ 로 광원 천체가 렌즈 천체 주위의 고리 모양으로 보이며, 이것을 아인슈타인 고리라고 한다. 아인슈타인 고리의 반경은 아인슈타인 반경과 같다.

${\theta }_{\mathrm{S}}\ne 0$이면 광원 천체는 렌즈 천체 주위에 아인슈타인 반경보다 큰 반경의 호가 하나, 아인슈타인 반경보다 작은 반경의 호가 하나의 모습으로 보이게 된다.

같이 보기

• 아인슈타인 고리

참고 자료

• 틀:저널 인용 (The first paper to propose rings)
• 틀:저널 인용 (The famous Einstein Ring paper)
• 틀:저널 인용