아벨의 합 공식 (적분 기법)

해석학에서 아벨의 합 공식(Abel's Sum Formula)은 크게 두 가지 의미로 사용된다. 여기에서는 적분에 대한 공식을 기술할 것이다. 이는 많은 경우 쉽게 적분할 수 없을 것처럼 보이는 적분을 쉽게 만들어주는 공식이다. 닫힌 꼴의 적분값을 찾는 적분 기법의 측면에서, 이는 초등적인 기법으로 증명할 수 있는 고급 테크닉에 속한다.(이외의 테크닉으로는 푸리에 해석을 이용한 방법, 유수 정리를 이용한 방법, 변수 변환을 이용한 방법, 수열을 이용한 방법 등이 있다)

공식화

일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.

• 보조정리 : $[c,\mathrm{\infty }]$에서 리만적분가능함수 $f(x)$에 대해 $\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ 가 수렴하면, 적분 $\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}f(x)dx=F(a)$는 $0\le a\le 1$에 대해 균등수렴한다.
• 정리 : 이 때, 실제로 $\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{a\to +0}{\lim }F(a)$ 가 성립한다.

이것 자체의 증명은 그다지 어렵지 않으므로 생략한다.

응용

아벨의 합 공식을 이용하는 방법은, 위의 공식에서 다른 방법으로 $F(a)$에 관한 식을 찾은 뒤 이것을 $a$에 관해 풀어서 적분을 구하는 것이다.

아벨의 합 공식을 이용해 실제로 적분 $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx$를 계산해 보자. 공식에 대입하면,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\underset{a\to +0}{\lim }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\frac{\sin x}{x}dx=\underset{a\to +0}{\lim }F(a)$

이 된다. 그런데 우변의 식은,

$F^{\prime }(a)=-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\sin xdx=-\frac{1}{1+a^2}$

이 되므로, 이를 다시 $a$에 관해 적분하면,

$F(a)=-\arctan a+C$

와 같이 된다. 적분상수를 결정하기 위해 적분의 형태를 이용하자. $F(a)$의 원 식에서 $a$가 무한대로 가면, 적분식 안이 $0$으로 접근하므로 $F(a)$ 역시 $0$으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은 $\frac{\pi }{2}$로 접근하므로, 적분상수는 결국 $\frac{\pi }{2}$와 같이 된다. 따라서,

$\underset{a\to +0}{\lim }[-\arctan a+\frac{\pi }{2}]=\frac{\pi }{2}$

가 되고, 이는 원 적분과 같다.

같이 보기

• 아벨 극한 정리

참고 문헌

• 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006