스테인하우스-모서 표기법

틀:위키데이터 속성 추적 틀:출처 필요 수학에서 스테인하우스-모서 표기법(틀:Llang)은 특정한 매우 큰 수를 표현하는 표기법으로, 스테인하우스의 다각형 표기법의 확장판이다.

정의

삼각형 안에 틀:Math을 쓴 수는 틀:Math을 의미한다.

사각형 안에 틀:Math을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 틀:Math개 안에 틀:Math을 쓴 수"와 같다.

오각형 안에 틀:Math을 쓴 수는 "중첩된 사각형 틀:Math개 안에 틀:Math을 쓴 수"와 같다.

etc.: (틀:Math)각형 안에 틀:Math을 쓴 수는 "중첩된 틀:Math각형 틀:Math개 안에 틀:Math을 쓴 수"와 같다. 다각형이 여러 개 중첩되어 있을 때, associated inward이다. 삼각형 두 개 안에 틀:Math을 쓴 것은 삼각형 안에 틀:Math을 쓴 것과 같고, 틀:Math의 틀:Math제곱과 같다.

스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고 위에서 정의한 오각형과 동일한 원 만을 정의했다.

특수값

스테인하우스는 다음을 정의했다:

• mega는 원 안에 2를 쓴 수이다: 틀:H:title
• megiston은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩

모서 수(틀:Llang)는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, megagon은 "mega"각형을 의미하며, 백만각형(틀:Llang)과 혼동해서는 안된다.

다른 표기법:

• 함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다
• 틀:Math를 중첩된 틀:Math각형 틀:Math개 안에 틀:Math을 쓴 수를 의미한다. 즉, 규칙은 다음과 같다:
  • $M(n,1,3)=n^n$
  • $M(n,1,p+1)=M(n,n,p)$
  • $M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)$
• 그리고
  • mega = $M(2,1,5)$
  • megiston = $M(10,1,5)$
  • moser = $M(2,1,M(2,1,5))$

Mega

mega (②)는 다음을 보면 알 수 있듯이 그 자체로도 매우 큰 수이다: ② = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2²)) = square(triangle(4)) = square(4⁴) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 triangles] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256²⁵⁶)...))) [255 triangles] ~ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10⁶¹⁶)...))) [254 triangles] = ...

다른 표기법을 사용하면:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

함수 $f(x)=x^x$를 사용하면 mega = $f^{256}(256)=f^{258}(2)$이고, 이 때 지수는 대수적인 거듭제곱이 아닌 함수의 거듭제곱을 의미한다.

우리는 다음을 알고 있다(거듭제곱이 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하는 관습을 주목하라):

• M(256,2,3) = $(256^{256}{)}^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
• M(256,3,3) = $(256^{256^{257}}{)}^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$≈$256^{256^{256^{257}}}$

유사하게:

• M(256,4,3) ≈ $256^{256^{256^{256^{257}}}}$
• M(256,5,3) ≈ $256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}$

etc.

따라서:

• mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow {)}^{256}257$이고, 이 때 $(256\uparrow {)}^{256}$는 함수 $f(n)=256^n$의 함수 거듭제곱을 의미한다.

더 근사하면 (끝의 257을 256으로 바꾸면), 커누스 윗화살표 표기법으로 mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$을 얻을 수 있다.

처음 몇 단계 이후 $n^n$의 값은 근사적으로 $256^n$과 같아진다. 사실은 $10^n$과도 같아진다 (매우 큰 수에 대한 근사적 산술을 보라). 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다:

• $M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}$
• $M(256,2,3)\approx 10^{1.99\times 10^{619}}$ (${\log }_{10}616$을 616에 더한 값이다)
• $M(256,3,3)\approx 10^{10^{1.99\times 10^{619}}}$ ($619$가 $1.99\times 10^{619}$에 더해졌지만 무시할 수 있기 때문에 단순히 아래에 10이 더 생겼다)
• $M(256,4,3)\approx 10^{10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}$

...

• mega = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow {)}^{255}1.99\times 10^{619}$, 이 때 $(10\uparrow {)}^{255}$는 함수 $f(n)=10^n$의 함수적 거듭제곱을 의미한다. 따라서 $10\uparrow \uparrow 257<\text{mega}<10\uparrow \uparrow 258$이다.

모서 수

모서 수는 그 크기가 콘웨이 연쇄 화살표 표기법으로 증명되었다.

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}<3\to 3\to 4\to 2$

그리고 커누스 윗화살표 표기법으로도 증명되었다.

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}<f^3(4)=f(f(f(4))),\text{ where }f(n)=3{\uparrow }^{n}3$

따라서 모서 수는 이해하기 어려울 정도로 크지만 그레이엄 수에 비해서는 없는 것이나 마찬가지로 작다:

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\ll 3\to 3\to 64\to 2<f^{64}(4)=\text{Graham's number}.$

같이 보기

• 아커만 함수

외부 링크

• Robert Munafo's Large Numbers
• Factoid on Big Numbers
• Megistron at mathworld.wolfram.com (Note that Steinhaus referred to this number as "megiston" with no "r".)
• Circle notation at mathworld.wolfram.com