슈필라인 확장정리

틀:위키데이터 속성 추적 슈필라인 확장정리(틀:Llang) 또는 마르체프스키 확장정리(Marczewski extension theorem)는 집합론의 정리로, 선택 공리의 많은 응용 사례 중 하나이다.

정의

임의의 집합 $X$ 및 이항 관계 $R\subset X^2$에 대하여, 다음 두 조건들이 성립한다고 하자.

• (추이관계) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $xRy$이며 $yRz$라면 $xRz$
• (비반사 관계) 임의의 $x\in X$에 대하여, $\mathrm{\neg }(xRx)$

슈필라인 확장정리에 따르면, 다음 네 조건들을 만족시키는 이항 관계 $\tilde{R}\subset X^2$가 존재한다.

• (추이관계) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $x\tilde{R}y$이며 $y\tilde{R}z$라면 $x\tilde{R}z$
• (비반사 관계) 임의의 $x\in X$에 대하여, $\mathrm{\neg }(x\tilde{R}x)$
• (확장성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $xRy$라면 $x\tilde{R}y$
• (완전 관계) 임의 $x,y\in X$에 대하여, $x\tilde{R}y$이거나 $y\tilde{R}x$

예

예를 들어,

$X=\{1,2,3\}$

$R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}$

이라면, $R$는 이미 비반사 추이 완전 관계이므로, 슈필라인 확장 정리는 자명하게 성립한다.

다른 예로

$X=\{1,2,3,4\}$

$R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)\}$

라 하자. 이는 비반사 추이 관계이나, 완전 관계가 아니다. 그렇다면 슈필라인 확장 정리에 따라서 이 관계의 비반사 추이 완전 확장이 존재한다. 이러한 확장은 유일하지 않으며, 아래의 $\tilde{R}$와 ${\tilde{R}}^{\prime }$ 둘 다 이 조건을 만족시킨다.

$\tilde{R}=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4),(2,4),(3,4)\}$

${\tilde{R}}^{\prime }=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4),(4,2),(4,3)\}$

역사

바르샤바 학파에 속하는 폴란드인 수학자 에드바르트 마르체프스키(Edward Marczewski, 1907년 - 1976년)가 입안하였다. '슈필라인'이라는 이름이 붙은 것은 1940년까지 마르체프스키의 성이 슈필라인이었는데, 이 시기인 1930년에 정리가 출판되었기 때문이다.