슈윙거-다이슨 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 양자장론에서 슈윙거-다이슨 방정식(틀:Llang)은 오일러-라그랑주 방정식에 양자역학적 보정항을 추가한 방정식이다.

정의

슈윙거-다이슨 방정식은 경로 적분을 통해 유도할 수 있다.틀:Rp 장 $\varphi (x)$에 대한 범함수 $X[\varphi ]=X(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi ,{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi ,\dots )$의 변분은 다음과 같다.

$\frac{\delta X[\varphi ]}{\delta \varphi }=\frac{\partial X}{\partial \varphi }-{\partial }_{\mu }\frac{\partial X}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}+{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\frac{\partial X}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}+\cdots$

경로 적분의 측도 $D\varphi$가 변수의 재정의 $\varphi \mapsto \varphi +\delta \varphi$에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, 임의의 연산자 $X[\varphi ]$에 대하여,

$0=\int D\varphi \delta (X\exp (iS/\hslash ))=\int D\varphi \exp (i\hslash S)(\delta X+iX\delta S/\hslash )$

이다. 이를 연산자로 쓰면 다음과 같다. 임의의 상태 $|\psi ⟩$에 대하여,

$⟨\psi |𝒯[X\delta S]|\psi ⟩=-i\hslash ⟨\psi |𝒯[\delta X]|\psi ⟩$

이를 슈윙거-다이슨 방정식이라고 한다. 여기서 $𝒯[\cdots ]$는 시간 순서 연산자이다. 이는 고전적 오일러-라그랑주 방정식

$\delta S=0$

의 양자장론적 일반화이며, 우변 $\hslash ⟨𝒯[\delta X]⟩$은 양자역학적인 보정항에 해당한다.

예를 들어, $X=\varphi (x_1)\varphi (x_2)\cdots \varphi (x_n)$이라고 하자. 그렇다면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

$⟨\psi |𝒯[\varphi (x_1)\varphi (x_2)\cdots \varphi (x_n)(\frac{\partial S}{\partial \varphi (x)}-{\partial }_{\mu }\frac{\partial S}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi (x))}+\cdots )]|\psi ⟩=-i\sum _{i=1}^n\delta (x-x_i)⟨\psi |𝒯[\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_{i-1})\varphi (x_{i+1})\cdots \varphi (x_n)]|\psi ⟩$

슈윙거-다이슨 으뜸 방정식

임의의 n점 상관 함수 $X=\varphi (x_1)\varphi (x_2)\cdots \varphi (x_n)$에 대하여 슈윙거-다이슨 방정식을 적을 수 있다. 이들 방정식들을 하나로 모아 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식(틀:Llang)으로 적을 수 있다.

우선, 어떤 고전적 샘장 $J(x)$을 추가하여, 작용이 $S+\int d^{d}x\varphi (x)J(x)$이라고 하자. 이 경우, 추가로 연산자를 삽입하지 않으면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

$0=i⟨\psi |𝒯[\frac{\delta S}{\delta \varphi (x)}+J(x)]|\psi {⟩}_J=\int D\varphi \exp (iS+i\int \varphi J)(J(x)+i\frac{\delta S}{\delta \varphi (x)})=(iJ(x)+i\frac{\delta S}{\delta \varphi (x)}[-i\frac{\delta }{\delta J(x)}])\int D\varphi \exp (iS+i\int \varphi J)$

여기서

$\frac{\delta S}{\delta \varphi }[-i\frac{\delta }{\delta J}]$

는 $\delta S/\delta \varphi (x)$에서 모든 $\varphi (x)$를 $-i\delta /\delta J(x)$로 치환한 것이다. 즉, 이를 분배 함수

$Z[J]=\int D\varphi \exp (iS+\int \varphi J)$

로 쓰면 다음과 같다.

$(J(x)+\frac{\delta S}{\delta \varphi (x)}[-i\frac{\delta }{\delta J(x)}])Z[J]=0$

이를 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식이라고 하며, $J(x)$에 대하여 테일러 급수로 전개하면 n점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻는다.

역사

프리먼 다이슨과 줄리언 슈윙거 가 도입하였다.

같이 보기

• 경로 적분 공식화

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용