슈뢰딩거-HJW 정리

틀:위키데이터 속성 추적 양자 정보 이론 및 양자광학에서 슈뢰딩거-HJW 정리(Schrödinger–HJW theorem)는 순수 양자 상태의 앙상블로서 양자계의 섞인 상태를 실현하고 밀도 연산자의 해당 순화 사이의 관계에 대한 결과이다. 이 정리는 물리학자 에르빈 슈뢰딩거와윌리엄 우터스 및 수학자 레인 휴스턴, 리차드 조자의 이름을 따서 명명되었다. 이 결과는 또한 니콜라스 기신과 Nicolas Hadjisavvas(부분적이긴 하지만)에 의해 독립적으로 발견되었으며, 에드윈 제인스의 작업을 기반으로 구축되었으며, 그 중 상당 부분도 마찬가지로 데이비드 머민에 의해 독립적으로 발견되었다. 복잡한 역사로 인해 GHJW 정리, HJW 정리, 순화 정리 등 다양한 이름으로도 알려져 있다.

섞인 양자 상태의 순화

${\mathscr{H}}_S$이 유한차원 복소 힐베르트 공간이라 하자. 다음 형식으로 분해되는$$\rho =\sum _i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|$$${\mathscr{H}}_S$에서 정의된 일반적인(섞인 상태일 수 있는) 양자 상태 $\rho$를 고려한다. 여기서 $|{\varphi }_i⟩\in {\mathscr{H}}_S$는 (반드시 상호 직교할 필요는 없는) 상태들과 계수들은 $\sum _i{p}_i=1$이고 $p_i\ge 0$이다. 임의의 양자 상태는 적당한 $\{|{\varphi }_i⟩{\}}_i$과 $\{p_i{\}}_i$에 대해 이러한 방식으로 작성될 수 있다. 임의의 그러한 $\rho$는 순화될 수 있다. 즉, 더 큰 힐베르트 공간에서 정의된 순수 상태의 부분 대각합으로 표현된다. 보다 정확하게는 (유한차원) 힐베르트 공간 ${\mathscr{H}}_A$과 $\rho ={\mathrm{Tr}}_A(|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_{SA}|)$인 순수 상태 $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩\in {\mathscr{H}}_S\otimes {\mathscr{H}}_A$을 찾는 것이 항상 가능하다. 더욱이, 이것을 만족시키는 상태 $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩$들은 모두 그리고 오직 다음 형식의 것들뿐이다.$$|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩=\sum _i\sqrt{p_i}|{\varphi }_i⟩\otimes |a_i⟩$$여기서 $\{|a_i⟩{\}}_i\subset {\mathscr{H}}_A$는 직교 기저이다. 이 상태 $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩$는 '$\rho$의 순화'라고 부른다. 보조 공간과 기저를 임의로 선택할 수 있기 때문에 섞인 상태의 순화는 유일하지 않다. 사실, 주어진 섞인 상태에 대해 무한히 많은 순화가 있다. 한 쌍의 순화 $|\mathrm{\Psi }⟩,|{\mathrm{\Psi }}^{\prime }⟩\in {\mathscr{H}}_S\otimes {\mathscr{H}}_A$가 주어지면 그들 모두는 위에 주어진 형태의 분해를 인정하기 때문이다. 항상 다음과 같은 유니터리 연산자 $U:{\mathscr{H}}_A\to {\mathscr{H}}_A$가 있다. $$|{\mathrm{\Psi }}^{\prime }⟩=(I\otimes U)|\mathrm{\Psi }⟩$$

정리

순수 상태의 앙상블로서 두 가지 다른 구현 $\rho =\sum _i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|$, $\rho =\sum _j{q}_j|{\phi }_j⟩⟨{\phi }_j|$과 함께섞인 양자 상태 $\rho$를 고려하자. 여기서 $|{\varphi }_i⟩$들과 $|{\phi }_j⟩$들은 서로 직교한다고 가정되지 않는다. 다음과 같이 섞인 상태 $\rho$의 두 가지 해당 순화가 있을 것이다.

• 순화 1: $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^1⟩=\sum _i\sqrt{p_i}|{\varphi }_i⟩\otimes |a_i⟩$ ;
• 순화 2: $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^2⟩=\sum _j\sqrt{q_j}|{\phi }_j⟩\otimes |b_j⟩$ .

집합 $\{|a_i⟩\}$과 $\{|b_j⟩\}$는 각 보조 공간의 정규 직교 기저이다. 이 두 가지 순화는 보조 공간에 작용하는 유니터리 변환, 즉 $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^1⟩=(I\otimes U_A)|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^2⟩$인 유니터리 행렬 $U_A$이 존재한다는 점에서만 다르다. 그러므로, $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^1⟩=\sum _j\sqrt{q_j}|{\phi }_j⟩\otimes U_A|b_j⟩$이다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.