선적분의 기본정리

틀:위키데이터 속성 추적 선적분의 기본정리는 다음과 같다.

집합 ${ℝ}^n$의 열린집합 $U$에서 정의된 벡터장 $F:U⟶{ℝ}^n$가 $\mathrm{grad}\phi =F$인 일급함수 $\phi :U⟶ℝ$가 존재하면 일급곡선 $X:[a,b]⟶U$를 따르는 선적분은

$\underset{X}{\int }F\cdot ds=\phi (X(b))-\phi (X(a))$

로 주어진다.

(증명) $\underset{X}{\int }F\cdot ds=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{grad}\phi (X(t))\cdot X^{\prime }(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}\phi (X(t))dt=\phi (X(b))-\phi (X(a))$

선적분 기본정리의 역

벡터장 $F:U⟶{ℝ}^n$의 선적분값이 곡선 $C$의 출발점과 도착점에만 의존하면 $\mathrm{grad}\phi =F$인 함수 $\phi :{ℝ}^n⟶ℝ$가 존재한다.

(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을 $P$, 도착점을 $Q$라고 하면 선적분값을 $P$, $Q$의 함수 $f(P,Q)$로 나타낼 수 있다. 한 점을 $A$라고 할 때, $\phi (X):=f(A,X)$로 놓으면

$D_i\phi (X)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\phi (X+h{E}_i)-\phi (X)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(X,X+h{E}_i)}{h}$

인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 $f(X,X+h{E}_i)$는 점 $X$와 $X+h{E}_i$를 잇는 직선 $\ell$을 따라 선적분한 값이다. 직선 $\ell$을 $X+t{E}_i$로 매개화하면 직선의 속도벡터는 $E_i$이므로

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\underset{\ell }{\int }F\cdot ds=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\underset{0}{\overset{h}{\int }}F(X+t{E}_i)\cdot E_{i}dt=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{f}_i(X+t{E}_i)dt=f_i(X)$

이다. 따라서 $\mathrm{grad}\phi =F$이다.

같이 보기

• 상태 함수
• 조르당 곡선 정리
• 미분 (주요 부분)
• 고전역학