사차원 속도

틀:위키데이터 속성 추적 특수 상대성 이론에서, 물체의 사차원 속도(四次元速度, 틀:Llang)는 로런츠 인자 $\gamma$와 고유속도(proper velocity(=celerity)) $𝐮=\gamma 𝐯$로 이루어진 사차원 벡터 $u^{\mu }=(\gamma ,𝐮)=\gamma (1,𝐯)$다. 물체가 시공간을 얼마나 빨리 이동하는지 나타내는 값으로 해석할 수 있다. 이름과 달리, 그 공간 성분은 (삼차원) 속도 $𝐯$가 아니라 고유속도(proper velocity(=celerity))이다. $𝐮=\gamma 𝐯$다(삼차원 속도는 그 어느 사차원 벡터의 공간 성분도 이루지 않는다).

정의

사차원 속도는 위치 $x^{\mu }$를 고유 시간 $\tau$로 미분한 값이다.

$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$.

정의에 따라, 고유 시간은 로런츠 변환에 대한 스칼라이므로 사차원 속도는 (위치 $x^{\mu }$와 마찬가지로) 사차원 벡터다. 고유 시간은

$\tau =t/\gamma$

이므로, 따라서

$u^{\mu }=\gamma \frac{d}{dt}{x}^{\mu }=\gamma (1,v_x,v_y,v_z)$

가 된다. 여기서 $v_x=dx/dt$, $v_y=dy/dt$, $v_z=dz/dt$는 물체의 삼차원 속도의 성분이다.

그 공간 성분 $𝐮=\gamma 𝐯$는 고유속도(proper velocity(=celerity))이다.

정의에 따라, 사차원 속도는

$u^2=\sum _{\mu ,\nu =0}^3{u}^{\mu }{u}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }={\gamma }^2-{\gamma }^2\Vert 𝐯{\Vert }^2=1$

을 만족한다. 또한, 정지 질량이 $m_0$인 물체의 사차원 운동량은

$p^{\mu }=m_0{u}^{\mu }$

이다.

같이 보기

• 미분
• 미적분학
• 사차원 벡터
• 사차원 운동량
• 특수 상대성 이론